ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 932 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Какое наименьшее значение может принимать радиус круга, из которого можно вырезать треугольник со сторонами \(2\) см, \(3\) см, \(4\) см?

Радиус описанной окружности треугольника со сторонами 2, 3 и 4 равен \( R = \frac{abc}{4S} \), где \( S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \), а \( p = \frac{a+b+c}{2} \).

Вычисляем:

\( p = \frac{2+3+4}{2} = 4.5 \),

\( S = \sqrt{4.5(4.5-2)(4.5-3)(4.5-4)} = \sqrt{4.5 \cdot 2.5 \cdot 1.5 \cdot 0.5} =\)
\(= \sqrt{8.4375} \approx 2.90 \),

\( R = \frac{2 \cdot 3 \cdot 4}{4 \cdot 2.90} = \frac{24}{11.6} \approx 2.07 \).

Ответ: \( 2.07 \) см.

Для нахождения минимального радиуса круга, из которого можно вырезать треугольник со сторонами \( a = 2 \), \( b = 3 \), \( c = 4 \), необходимо определить радиус описанной окружности этого треугольника. Радиус описанной окружности — это радиус круга, который проходит через все вершины треугольника, и он является наименьшим радиусом круга, способного вместить данный треугольник целиком. Чтобы вычислить этот радиус, нужно сначала найти площадь треугольника, поскольку формула радиуса описанной окружности связана с площадью и длинами сторон.

Сначала вычислим полупериметр треугольника. Полупериметр \( p \) равен половине суммы всех сторон, то есть \( p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{2 + 3 + 4}{2} = 4.5 \). Это значение используется для вычисления площади треугольника по формуле Герона. Формула Герона позволяет найти площадь треугольника, если известны длины всех его сторон, и выглядит она так: \( S = \sqrt{p(p — a)(p — b)(p — c)} \). Подставляя значения, получаем \( S = \sqrt{4.5 \cdot (4.5 — 2) \cdot (4.5 — 3) \cdot (4.5 — 4)} \). Раскрывая скобки, \( S = \sqrt{4.5 \cdot 2.5 \cdot 1.5 \cdot 0.5} \), что после умножения даёт \( S = \sqrt{8.4375} \). Приблизительно это равно \( 2.90 \).

Теперь, когда площадь известна, можно вычислить радиус описанной окружности \( R \) по формуле \( R = \frac{abc}{4S} \), где \( a, b, c \) — стороны треугольника, а \( S \) — его площадь. Подставляя значения, получаем \( R = \frac{2 \cdot 3 \cdot 4}{4 \cdot 2.90} = \frac{24}{11.6} \). Деление даёт приблизительно \( 2.07 \). Это и есть минимальный радиус круга, из которого можно вырезать треугольник с заданными сторонами. Такой подход гарантирует, что круг будет достаточно большим, чтобы вместить треугольник целиком, и при этом радиус не будет избыточно большим.