ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 934 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Дан квадрат размером 101 X 101 клетку. Клетки квадрата раскрасили в шахматном порядке в чёрный и белый цвета так, что центральная клетка оказалась чёрной. Для каждой пары разноцветных клеток откладывают вектор, начало которого совпадает с центром чёрной клетки, а конец с центром белой. Докажите, что сумма всех отложенных векторов равна нуль-вектору.
Для каждого вектора \( \vec{v} \) существует симметричный ему вектор \( -\vec{v} \) относительно центральной клетки. Сумма таких пар векторов равна нулю, значит сумма всех векторов равна нулевому вектору. Что и требовалось доказать.
Рассмотрим квадрат размером 101 × 101 клетка, раскрашенный в шахматном порядке, где центральная клетка чёрная. Обозначим координаты клеток так, что центр квадрата имеет координаты \( (c, c) \), где \( c = 51 \).
Каждая чёрная клетка имеет координаты \( (x, y) \), где \( x, y \in \{1, 2, \ldots, 101\} \) и \( (x + y) \bmod 2 = 0 \) (чётная сумма координат). Каждая белая клетка имеет координаты \( (x’, y’) \), где \( (x’ + y’) \bmod 2 = 1 \).
Для каждой пары разноцветных клеток построен вектор от центра чёрной клетки к центру белой: \( \vec{v} = (x’ — x, y’ — y) \).
Рассмотрим отображение, которое отражает координаты клетки относительно центра квадрата: \( (x, y) \mapsto (2c — x, 2c — y) \).
Если для пары клеток с координатами \( (x, y) \) и \( (x’, y’) \) построен вектор \( \vec{v} = (x’ — x, y’ — y) \), то для пары клеток, симметричных относительно центра, с координатами \( (2c — x, 2c — y) \) и \( (2c — x’, 2c — y’) \), построен вектор
\( \vec{v}’ = ((2c — x’) — (2c — x), (2c — y’) — (2c — y)) = (x — x’, y — y’) = -\vec{v} \).
Таким образом, каждому вектору \( \vec{v} \) сопоставлен вектор \( -\vec{v} \), и они образуют пару, сумма которых равна нулю:
\( \vec{v} + (-\vec{v}) = \vec{0} \).
Поскольку все векторы разбиваются на такие пары, сумма всех векторов равна нулевому вектору:
\( \sum \vec{v} = \vec{0} \).
Это доказывает требуемое утверждение.
