ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 935 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Внутри правильного шестиугольника со стороной 1 м расположено 7 точек. Докажите, что среди них найдутся 2 точки на расстоянии не больше 1 м.

В правильном шестиугольнике со стороной 1 м проведём отрезки от центра к вершинам, разбив его на 6 равносторонних треугольников со стороной 1 м. По принципу Дирихле, среди 7 точек как минимум две лежат в одном треугольнике, значит расстояние между ними не больше 1 м.

Рассмотрим правильный шестиугольник со стороной 1 метр. Центр этого шестиугольника совпадает с центром описанной окружности, радиус которой равен стороне, то есть \( R = 1 \).

Проведём отрезки от центра шестиугольника к его вершинам. Таким образом шестиугольник разбивается на 6 равносторонних треугольников со стороной 1. Каждый из этих треугольников имеет стороны, равные 1, и углы по \( 60^\circ \).

Внутри шестиугольника расположено 7 точек. По принципу Дирихле, если 7 элементов распределены по 6 ячейкам, то в одной ячейке окажется как минимум 2 элемента. В нашем случае ячейками являются равносторонние треугольники.

Следовательно, среди 7 точек найдутся две, которые лежат в одном равностороннем треугольнике со стороной 1.

Максимальное расстояние между двумя точками, находящимися внутри такого треугольника, не превышает длину его стороны, то есть не больше 1.

Таким образом, среди 7 точек внутри правильного шестиугольника со стороной 1 найдутся две точки, расстояние между которыми не больше 1.