ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 94 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Используя данные рисунка 21, найдите отрезок \( AC \), если \( BD = m \), \( \angle ABC = \alpha \), \( \angle ADC = \beta \).
Рассмотрим треугольник ABD. Угол BAD равен \( \alpha — \beta \). По теореме синусов: \( \frac{BD}{\sin BAD} = \frac{AB}{\sin ADB} \). Значит, \( AB = \frac{BD \sin \beta}{\sin (\alpha — \beta)} = \frac{m \sin \beta}{\sin (\alpha — \beta)} \).
В треугольнике ABC угол C прямой, значит \( \sin B = \frac{AC}{AB} \), откуда \( AC = AB \sin \alpha = \frac{m \sin \beta}{\sin (\alpha — \beta)} \sin \alpha = \frac{m \sin \alpha \sin \beta}{\sin (\alpha — \beta)} \).
Рассмотрим треугольник ABD. Из условия известно, что угол ABC равен \( \alpha \), а угол ADC равен \( \beta \). Поскольку точки B, D, C лежат на окружности, угол BAD можно выразить как разность углов \( \alpha \) и \( \beta \), то есть \( \angle BAD = \alpha — \beta \). Это важно, потому что для нахождения стороны AC нам нужно сначала найти сторону AB, а для этого мы воспользуемся теоремой синусов в треугольнике ABD.
Теорема синусов гласит, что отношение длины стороны к синусу противолежащего угла одинаково для всех сторон треугольника. В треугольнике ABD это выглядит так: \( \frac{BD}{\sin \angle BAD} = \frac{AB}{\sin \angle ADB} \). Из этой формулы можно выразить сторону AB: \( AB = \frac{BD \sin \angle ADB}{\sin \angle BAD} \). Подставляя известные значения, получаем \( AB = \frac{m \sin \beta}{\sin (\alpha — \beta)} \). Таким образом, мы нашли длину стороны AB через известный отрезок BD и углы \( \alpha \) и \( \beta \).
Теперь рассмотрим треугольник ABC, в котором угол C прямой. В прямоугольном треугольнике отношение противолежащего катета к гипотенузе равно синусу угла при вершине B, то есть \( \sin \alpha = \frac{AC}{AB} \). Отсюда следует, что \( AC = AB \sin \alpha \). Подставляя выражение для AB, получаем окончательную формулу: \( AC = \frac{m \sin \beta}{\sin (\alpha — \beta)} \sin \alpha = \frac{m \sin \alpha \sin \beta}{\sin (\alpha — \beta)} \). Эта формула позволяет найти длину отрезка AC через известные элементы задачи.
