Учебник «ГДЗ Мерзляк по Геометрии 9 класс» — это незаменимый инструмент для школьников, которые продолжают изучать геометрию и сталкиваются с более сложными задачами и теоремами. Этот учебник помогает не только справляться с домашними заданиями, но и глубже понимать основы геометрии, необходимые для успешной подготовки к экзаменам и дальнейшему обучению.
ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 95 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
На стороне \( AB \) треугольника \( ABC \) отметили точку \( M \) так, что \( \angle AMC = \varphi \). Найдите отрезок \( CM \), если \( AB = c \), \( \angle A = \alpha \), \( \angle ACB = \gamma \). В треугольнике \( ABC \) известно, что \( \angle A = \alpha \), \( \angle B = \beta \). На стороне \( BC \) отметили точку \( D \) так, что \( \angle ADB = \varphi \), \( AD = m \). Найдите сторону \( BC \).
Рассмотрим треугольник ABC. По теореме синусов:
\( \frac{AB}{\sin \angle ACB} = \frac{BC}{\sin \angle A} \)
Отсюда
\( BC = \frac{AB \cdot \sin \angle A}{\sin \angle ACB} = \frac{c \sin \alpha}{\sin \gamma} \)
Угол \( \angle BMC = 180^\circ — \varphi \), значит
\( \sin \angle BMC = \sin \varphi \)
Угол \( \angle B = 180^\circ — \alpha — \gamma \), значит
\( \sin \angle B = \sin (\alpha + \gamma) \)
В треугольнике BMC по теореме синусов:
\( \frac{BC}{\sin \angle BMC} = \frac{CM}{\sin \angle MBC} \)
Отсюда
\( CM = \frac{BC \cdot \sin \angle MBC}{\sin \angle BMC} = \frac{BC \cdot \sin (\alpha + \gamma)}{\sin \varphi} \)
Подставляем BC:
\( CM = \frac{\frac{c \sin \alpha}{\sin \gamma} \cdot \sin (\alpha + \gamma)}{\sin \varphi} = \frac{c \sin \alpha \sin (\alpha + \gamma)}{\sin \gamma \sin \varphi} \)
Рассмотрим треугольник \( ABC \), в котором известна сторона \( AB = c \), а также углы при вершинах \( A \) и \( C \), равные соответственно \( \alpha \) и \( \gamma \). Нам нужно найти длину отрезка \( CM \), где точка \( M \) находится на стороне \( AB \), а угол \( \angle AMC \) равен \( \varphi \). Для решения задачи используем теорему синусов и свойства треугольников.
Сначала найдем длину стороны \( BC \). В треугольнике \( ABC \) по теореме синусов отношение стороны к синусу противолежащего угла одинаково для всех сторон. Это значит, что
\( \frac{AB}{\sin \angle ACB} = \frac{BC}{\sin \angle A} \).
Подставляя известные значения, получаем
\( \frac{c}{\sin \gamma} = \frac{BC}{\sin \alpha} \).
Отсюда выразим \( BC \):
\( BC = \frac{c \sin \alpha}{\sin \gamma} \).
Таким образом, длина стороны \( BC \) выражена через известные величины \( c \), \( \alpha \) и \( \gamma \).
Далее рассмотрим треугольник \( BMC \), в котором нам нужно найти отрезок \( CM \). Из условия известно, что угол \( \angle AMC = \varphi \). Поскольку точки \( A \), \( M \), \( B \) лежат на одной прямой, угол \( \angle BMC \) является дополнительным к углу \( \varphi \) и равен
\( 180^\circ — \varphi \).
Синус этого угла равен синусу \( \varphi \), так как \( \sin (180^\circ — x) = \sin x \). Значит,
\( \sin \angle BMC = \sin \varphi \).
Угол \( \angle MBC \) в треугольнике \( BMC \) совпадает с углом \( \angle B \) треугольника \( ABC \), так как точка \( M \) лежит на стороне \( AB \). Угол \( \angle B \) равен
\( 180^\circ — \alpha — \gamma \).
Поэтому
\( \sin \angle MBC = \sin (180^\circ — \alpha — \gamma) = \sin (\alpha + \gamma) \).
Теперь применим теорему синусов к треугольнику \( BMC \):
\( \frac{BC}{\sin \angle BMC} = \frac{CM}{\sin \angle MBC} \).
Из этого выражения выразим \( CM \):
\( CM = \frac{BC \sin \angle MBC}{\sin \angle BMC} \).
Подставим найденные ранее значения:
\( CM = \frac{BC \sin (\alpha + \gamma)}{\sin \varphi} \).
Подставим выражение для \( BC \):
\( CM = \frac{\frac{c \sin \alpha}{\sin \gamma} \cdot \sin (\alpha + \gamma)}{\sin \varphi} \).
Упростим дробь:
\( CM = \frac{c \sin \alpha \sin (\alpha + \gamma)}{\sin \gamma \sin \varphi} \).
Таким образом, длина отрезка \( CM \) выражена через известные величины \( c \), \( \alpha \), \( \gamma \) и \( \varphi \), что позволяет найти \( CM \) при заданных параметрах.
