ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 96 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, длины которых обратно пропорциональны синусам прилежащих к этой стороне углов.

Дано: \( \angle A = \alpha \), \( \angle B = \beta \), \( \angle ADB = \varphi \), \( AD = m \). Найти: \( BC \).

Решение:

1) Рассмотрим треугольник \( \triangle ABD \):
\( \angle ADC = 180^\circ — \angle ADB = 180^\circ — \varphi \);
\( \sin \angle ADC = \sin(180^\circ — \varphi) = \sin \varphi \).

2) Рассмотрим треугольник \( \triangle ABC \):
\( \angle C = 180^\circ — \angle A — \angle B = 180^\circ — \alpha — \beta \);
\( \sin \angle C = \sin(180^\circ — \alpha — \beta) = \sin(\alpha + \beta) \).

3) Рассмотрим треугольник \( \triangle ACD \):
\[
\frac{AC}{\sin \angle ADC} = \frac{AD}{\sin \angle ACD} \Rightarrow AC = \frac{AD \cdot \sin \angle ADC}{\sin \angle ACD} = \frac{m \sin \varphi}{\sin(\alpha + \beta)}.
\]

4) Рассмотрим треугольник \( \triangle ABC \):
\[
\frac{BC}{\sin \angle A} = \frac{AC}{\sin \angle B} \Rightarrow BC = \frac{AC \cdot \sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{m \sin \alpha \sin \varphi}{\sin \beta \sin(\alpha + \beta)}.
\]

Ответ: \( BC = \frac{m \sin \alpha \sin \varphi}{\sin \beta \sin(\alpha + \beta)} \).

Рассмотрим треугольник \( \triangle ABC \), в котором дана биссектриса \( AD \), проведённая из вершины \( A \) к стороне \( BC \). Обозначим углы при вершинах: \( \angle A = \alpha \), \( \angle B = \beta \), а угол при точке \( D \) на биссектрисе \( \angle ADB = \varphi \). Известна длина биссектрисы \( AD = m \). Необходимо найти длину стороны \( BC \).

Для начала обратим внимание на то, что угол \( \angle ADC \) является смежным с углом \( \angle ADB \) на прямой линии через точки \( A, D, C \). Поскольку сумма смежных углов равна \( 180^\circ \), то \( \angle ADC = 180^\circ — \varphi \). Поскольку синус угла равен синусу его дополнительного угла, получаем \( \sin \angle ADC = \sin(180^\circ — \varphi) = \sin \varphi \). Это важное свойство поможет нам в дальнейшем использовать теорему синусов в треугольнике \( \triangle ACD \).

Далее рассмотрим треугольник \( \triangle ABC \). Сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \), следовательно, угол \( \angle C \) равен \( 180^\circ — \alpha — \beta \). Опять же, используя свойство синуса дополнительного угла, получаем \( \sin \angle C = \sin(180^\circ — \alpha — \beta) = \sin(\alpha + \beta) \). Это выражение нам пригодится для вычислений, связанных с длинами сторон треугольника.

Теперь применим теорему синусов к треугольнику \( \triangle ACD \). По теореме синусов отношение длины стороны к синусу противолежащего угла одинаково для всех сторон треугольника, поэтому
\( \frac{AC}{\sin \angle ADC} = \frac{AD}{\sin \angle ACD} \).
Подставляя известные углы и длину биссектрисы, получаем
\( AC = \frac{AD \cdot \sin \angle ADC}{\sin \angle ACD} = \frac{m \sin \varphi}{\sin(\alpha + \beta)} \).
Здесь мы выразили сторону \( AC \) через известные величины.

Последним шагом рассмотрим треугольник \( \triangle ABC \) и снова применим теорему синусов:
\( \frac{BC}{\sin \alpha} = \frac{AC}{\sin \beta} \).
Отсюда выразим искомую сторону \( BC \):
\( BC = \frac{AC \cdot \sin \alpha}{\sin \beta} \).
Подставим найденное значение \( AC \):
\( BC = \frac{m \sin \varphi}{\sin(\alpha + \beta)} \cdot \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{m \sin \alpha \sin \varphi}{\sin \beta \sin(\alpha + \beta)} \).

Таким образом, длина стороны \( BC \) выражается через заданные углы и длину биссектрисы формулой
\( BC = \frac{m \sin \alpha \sin \varphi}{\sin \beta \sin(\alpha + \beta)} \).