ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 97 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Докажите, что биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, длины которых обратно пропорциональны синусам прилежащих к этой стороне углов
Дано: \(BD\) — биссектриса угла \(B\).
Доказать: \(\frac{AD}{CD} = \frac{\sin C}{\sin A}\).
Решение:
1) В треугольнике \(ABC\) угол \(B\) делится биссектрисой на два равных угла: \(\angle ABD = \angle CBD = \frac{1}{2} \angle B\).
2) Рассмотрим треугольник \(ABD\):
\[
\frac{AD}{\sin \angle ABD} = \frac{BD}{\sin \angle A} \Rightarrow BD = \frac{AD \cdot \sin A}{\sin \frac{1}{2} B}.
\]
3) Рассмотрим треугольник \(CBD\):
\[
\frac{CD}{\sin \angle CBD} = \frac{BD}{\sin \angle C} \Rightarrow BD = \frac{CD \cdot \sin C}{\sin \frac{1}{2} B}.
\]
4) Приравниваем выражения для \(BD\):
\[
\frac{AD \cdot \sin A}{\sin \frac{1}{2} B} = \frac{CD \cdot \sin C}{\sin \frac{1}{2} B} \Rightarrow AD \cdot \sin A = CD \cdot \sin C.
\]
5) Делим обе части на \(CD \cdot \sin A\):
\[
\frac{AD}{CD} = \frac{\sin C}{\sin A}.
\]
Что и требовалось доказать.
В треугольнике \(ABC\) проведена биссектриса угла \(B\), которая пересекает сторону \(AC\) в точке \(D\). По определению биссектрисы, она делит угол \(B\) на два равных угла, то есть \(\angle ABD = \angle CBD = \frac{1}{2} \angle B\). Это важное свойство помогает нам рассмотреть два треугольника — \(ABD\) и \(CBD\), которые имеют общий угол \(B\) и общую сторону \(BD\). Для доказательства соотношения между отрезками \(AD\) и \(CD\) мы воспользуемся теоремой синусов в каждом из этих треугольников.
Рассмотрим сначала треугольник \(ABD\). По теореме синусов отношение длины стороны к синусу противолежащего угла одинаково для всех сторон треугольника. Значит, в треугольнике \(ABD\) можно записать равенство: \(\frac{AD}{\sin \angle ABD} = \frac{BD}{\sin \angle A}\). Здесь \(\angle ABD = \frac{1}{2} \angle B\), так как \(BD\) — биссектриса. Из этого равенства выражаем длину \(BD\): \(BD = \frac{AD \cdot \sin A}{\sin \frac{1}{2} B}\). Это выражение показывает, что длина отрезка \(BD\) связана с длиной \(AD\) и углами треугольника.
Теперь рассмотрим треугольник \(CBD\). Аналогично применяем теорему синусов: \(\frac{CD}{\sin \angle CBD} = \frac{BD}{\sin \angle C}\). Поскольку \(\angle CBD = \frac{1}{2} \angle B\), то из этого равенства можно выразить \(BD\) как \(BD = \frac{CD \cdot \sin C}{\sin \frac{1}{2} B}\). Теперь у нас есть два выражения для одной и той же длины \(BD\) через разные стороны треугольника и углы. Приравнивая эти выражения, получаем: \(\frac{AD \cdot \sin A}{\sin \frac{1}{2} B} = \frac{CD \cdot \sin C}{\sin \frac{1}{2} B}\). Умножая обе части на \(\sin \frac{1}{2} B\) и сокращая, приходим к равенству \(AD \cdot \sin A = CD \cdot \sin C\). Разделив обе части на \(CD \cdot \sin A\), получаем искомое соотношение: \(\frac{AD}{CD} = \frac{\sin C}{\sin A}\). Таким образом, биссектриса угла \(B\) делит сторону \(AC\) на отрезки, длины которых пропорциональны синусам противолежащих углов \(C\) и \(A\).
