ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 98 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Две стороны треугольника равны 6 см и 12 см, а высота, проведённая к третьей стороне, — 4 см. Найдите радиус окружности, описанной около данного треугольника.

Дано: \(AB = 6\), \(BC = 12\), \(BH = 4\).

Рассмотрим треугольник \(BHC\). Угол \(BHC = 90^\circ\), значит \(\sin \angle C = \frac{BH}{BC} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\).

Рассмотрим треугольник \(ABC\). Формула радиуса описанной окружности: \(R = \frac{AB}{2 \sin \angle C}\).

Подставляем: \(R = \frac{6}{2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{6}{\frac{2}{3}} = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9\).

Ответ: 9 см.

Дано: \(AB = 6\), \(BC = 12\), \(BH = 4\), где \(BH\) — высота, проведённая к стороне \(AC\). Высота в треугольнике — это отрезок, проведённый из вершины перпендикулярно к противоположной стороне. В данном случае высота \(BH\) перпендикулярна стороне \(AC\), поэтому угол \(BHC\) прямой, то есть равен \(90^\circ\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(BHC\). В этом треугольнике гипотенузой является сторона \(BC\), равная 12. Катет \(BH\) равен 4. По определению синуса угла \(C\) в треугольнике \(ABC\), который совпадает с углом \(BHC\), можно записать: \(\sin \angle C = \frac{противолежащий\ катет}{гипотенуза} = \frac{BH}{BC} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\). Это значение синуса угла \(C\) поможет нам найти радиус описанной окружности.

Для нахождения радиуса описанной окружности \(R\) треугольника \(ABC\) существует формула, связывающая сторону и синус противолежащего угла: \(R = \frac{AB}{2 \sin \angle C}\). Здесь \(AB\) — сторона, напротив угла \(C\), равная 6. Подставим известные значения: \(R = \frac{6}{2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{6}{\frac{2}{3}} = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9\). Таким образом, радиус описанной окружности равен 9 см.