ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 99 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием 16 см и боковой стороной 10 см.

Дано: \(AC = 16\) см, \(AB = BC = 10\) см. Найти радиус описанной окружности \(R\).

Используем теорему косинусов: \(BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle A\).

Подставляем: \(10^2 = 10^2 + 16^2 — 2 \cdot 10 \cdot 16 \cdot \cos \angle A\).

Получаем: \(100 = 100 + 256 — 320 \cos \angle A\), значит \(320 \cos \angle A = 256\), откуда \(\cos \angle A = \frac{4}{5}\).

Находим \(\sin \angle A = \sqrt{1 — \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \frac{3}{5}\).

Радиус описанной окружности: \(R = \frac{BC}{2 \sin \angle A} = \frac{10}{2 \cdot \frac{3}{5}} = \frac{10}{\frac{6}{5}} = 5 \cdot \frac{5}{3} = \frac{25}{3}\) см.

В треугольнике \(ABC\) даны стороны: \(AB = BC = 10\) см и основание \(AC = 16\) см. Так как \(AB = BC\), треугольник равнобедренный, и нам нужно найти радиус описанной окружности \(R\), то есть радиус окружности, которая проходит через все три вершины треугольника. Для этого сначала найдем угол при вершине \(A\), так как радиус описанной окружности можно выразить через сторону и синус противолежащего угла.

Для нахождения угла \(A\) используем теорему косинусов, которая связывает стороны треугольника и угол между ними. Теорема косинусов гласит: квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В нашем случае, сторона \(BC\) напротив угла \(A\), поэтому формула записывается так: \(BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle A\). Подставим известные значения: \(10^2 = 10^2 + 16^2 — 2 \cdot 10 \cdot 16 \cdot \cos \angle A\). Это дает уравнение \(100 = 100 + 256 — 320 \cos \angle A\).

Далее упрощаем уравнение. Складываем \(100 + 256 = 356\), тогда \(100 = 356 — 320 \cos \angle A\). Переносим \(320 \cos \angle A\) в левую часть и \(100\) в правую: \(320 \cos \angle A = 356 — 100 = 256\). Отсюда находим \(\cos \angle A = \frac{256}{320} = \frac{4}{5}\). Теперь, чтобы найти синус угла \(A\), используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 \angle A + \cos^2 \angle A = 1\). Подставляем значение косинуса: \(\sin^2 \angle A = 1 — \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 — \frac{16}{25} = \frac{9}{25}\). Значит, \(\sin \angle A = \frac{3}{5}\).

Теперь, зная синус угла \(A\), можем найти радиус описанной окружности. Формула для радиуса описанной окружности через сторону и синус угла противолежащей стороны такова: \(R = \frac{a}{2 \sin \alpha}\), где \(a = BC = 10\), а \(\alpha = \angle A\). Подставляем значения: \(R = \frac{10}{2 \cdot \frac{3}{5}} = \frac{10}{\frac{6}{5}} = 10 \cdot \frac{5}{6} = \frac{50}{6} = \frac{25}{3}\) см. Таким образом, радиус описанной окружности равен \(\frac{25}{3}\) см.