ГДЗ по Геометрии 9 Класс Проверьте себя Номер 1 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

1. Какое из равенств верно?
А) \(\cos (180^\circ — \alpha) = \sin \alpha\)
Б) \(\cos (180^\circ — \alpha) = \cos \alpha\)
В) \(\sin (180^\circ — \alpha) = \cos \alpha\)
Г) \(\sin (180^\circ — \alpha) = \sin \alpha\)

2. Какое из неравенств верно?
А) \(\sin 100^\circ \cos 110^\circ > 0\)
Б) \(\sin 100^\circ \cos 10^\circ < 0\)
В) \(\sin 100^\circ \cos 110^\circ < 0\)
Г) \(\sin 100^\circ \cos 90^\circ > 0\)

3. Чему равна третья сторона треугольника, если две его стороны равны 3 см и 8 см, а угол между ними равен \(120^\circ\)?
А) \(\sqrt{97}\) см
Б) 7 см
В) 9 см
Г) 32 см

4. Каким является угол, лежащий против большей стороны треугольника со сторонами 4 см, 7 см и 9 см?
А) острым
Б) тупым
В) прямым
Г) невозможно установить

5. Угол между двумя сторонами треугольника, одна из которых на 10 см больше другой, равен \(60^\circ\), а третья сторона равна 14 см. Какова длина наибольшей стороны треугольника?
А) 16 см
Б) 14 см
В) 18 см
Г) 15 см

6. Диагонали параллелограмма равны 17 см и 19 см, а его стороны относятся как 2 : 3. Чему равен периметр параллелограмма?
А) 25 см
Б) 30 см
В) 40 см
Г) 50 см

7. В треугольнике ABC известно, что AB = 8 см, \(\angle C = 30^\circ\), \(\angle A = 45^\circ\). Чему равна сторона BC?
А) \(8\sqrt{2}\) см
Б) \(4\sqrt{2}\) см
В) \(16\sqrt{2}\) см
Г) \(12\sqrt{2}\) см

8. Чему равно отношение AC : BC сторон треугольника ABC, если \(\angle A = 120^\circ\), \(\angle B = 30^\circ\)?
А) \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Б) \(\sqrt{3}\)
В) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Г) \(\frac{2\sqrt{3}}{3}\)

9. В треугольнике ABC AB = \(4\sqrt{2}\) см, \(\angle C = 135^\circ\). Чему равен диаметр окружности, описанной около треугольника?
А) 4 см
Б) 8 см
В) 16 см
Г) 2 см

10. Какое наибольшее значение может принимать площадь треугольника со сторонами 8 см и 12 см?
А) 96 см\(^2\)
Б) 48 см\(^2\)
В) 24 см\(^2\)
Г) невозможно установить

11. Чему равна сумма радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника со сторонами 25 см, 33 см и 52 см?
А) 36 см
Б) 30 см
В) 32,5 см
Г) 38,5 см

12. Две стороны треугольника равны 11 см и 23 см, а медиана, проведённая к третьей стороне, — 10 см. Чему равна неизвестная сторона треугольника?
А) 15 см
Б) 30 см
В) 25 см
Г) 20 см

1. Верное равенство:
Г) \(\sin (180^\circ — \alpha) = \sin \alpha\)

2. Верное неравенство:
В) \(\sin 100^\circ \cos 110^\circ < 0\)

3. По теореме косинусов: \(c^2 = a^2 + b^2 — 2ab \cos(C)\). Подставляем значения: \(c^2 = 3^2 + 8^2 — 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \cos(120^\circ)\). Вычисляем: \(c^2 = 9 + 64 — 48 \cdot (-\frac{1}{2})\). Получаем: \(c^2 = 73 + 24 = 97\). Значит, \(c = \sqrt{97}\) см.

4. Пусть стороны треугольника \(a = 4\), \(b = 7\), \(c = 9\). Угол против большей стороны \(c\) найдем по теореме косинусов: \(c^2 = a^2 + b^2 — 2ab \cos(C)\). Подставляем: \(9^2 = 4^2 + 7^2 — 2 \cdot 4 \cdot 7 \cdot \cos(C)\). Получаем: \(81 = 16 + 49 — 56 \cos(C)\). Тогда \(81 = 65 — 56 \cos(C)\). Отсюда \(16 = -56 \cos(C)\), и \(\cos(C) = \frac{16}{-56} = -\frac{2}{7}\). Так как косинус угла отрицательный, угол является тупым.

5. Пусть одна сторона равна \(x\) см, тогда другая \(x + 10\) см. Третья сторона равна 14 см, а угол между \(x\) и \(x + 10\) равен \(60^\circ\). По теореме косинусов: \(14^2 = x^2 + (x + 10)^2 — 2x(x + 10)\cos(60^\circ)\). Подставляем: \(196 = x^2 + (x^2 + 20x + 100) — 2x(x + 10)(\frac{1}{2})\). Упрощаем: \(196 = 2x^2 + 20x + 100 — x^2 — 10x\). Получаем квадратное уравнение: \(x^2 + 10x — 96 = 0\). Решая его, находим \(x = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 — 4(1)(-96)}}{2}\). \(x = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 384}}{2} = \frac{-10 \pm \sqrt{484}}{2} = \frac{-10 \pm 22}{2}\). Подходящее значение \(x = \frac{-10 + 22}{2} = 6\). Длины сторон: 6 см, \(6 + 10 = 16\) см, 14 см. Наибольшая сторона равна 16 см.

6.

Пусть стороны параллелограмма равны \(2x\) и \(3x\).
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон:
\(d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)\)
\(17^2 + 19^2 = 2((2x)^2 + (3x)^2)\)
\(289 + 361 = 2(4x^2 + 9x^2)\)
\(650 = 2(13x^2)\)
\(650 = 26x^2\)
\(x^2 = \frac{650}{26}\)
\(x^2 = 25\)
\(x = 5\)
Стороны параллелограмма: \(a = 2x = 2 \cdot 5 = 10\) см, \(b = 3x = 3 \cdot 5 = 15\) см.
Периметр параллелограмма: \(P = 2(a + b) = 2(10 + 15) = 2(25) = 50\) см.

7. По теореме синусов: \(\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}\)
\(\frac{BC}{\sin 45^\circ} = \frac{8}{\sin 30^\circ}\)
\(\frac{BC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8}{\frac{1}{2}}\)
\(BC = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}\)
\(BC = 8\sqrt{2}\) см.

8. Найдем угол \(C\):
\(\angle C = 180^\circ — \angle A — \angle B = 180^\circ — 120^\circ — 30^\circ = 30^\circ\).
По теореме синусов: \(\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}\)
Тогда \(\frac{AC}{BC} = \frac{\sin B}{\sin A}\)
\(\frac{AC}{BC} = \frac{\sin 30^\circ}{\sin 120^\circ}\)
\(\frac{AC}{BC} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(\frac{AC}{BC} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\).

9. Диаметр описанной окружности равен \(D = \frac{a}{\sin A}\). В данном случае \(D = \frac{AB}{\sin C} = \frac{4\sqrt{2}}{\sin 135^\circ} = \frac{4\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 8\) см.
Б) 8 см

10. Площадь треугольника \(S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma\). Наибольшее значение площади будет при \(\sin\gamma = 1\), то есть при \(\gamma = 90^\circ\). Тогда \(S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 = 48\) см\(^2\).
Б) 48 см\(^2\)

11. Для треугольника со сторонами 25, 33, 52 см.
Полупериметр \(p = \frac{25+33+52}{2} = \frac{110}{2} = 55\) см.
Площадь по формуле Герона: \(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{55(55-25)(55-33)(55-52)} =\)
\(= \sqrt{55 \cdot 30 \cdot 22 \cdot 3} = \sqrt{5 \cdot 11 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 3} = \)
\(=\sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 11^2} = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 = 330\) см\(^2\).
Радиус вписанной окружности \(r = \frac{S}{p} = \frac{330}{55} = 6\) см.
Радиус описанной окружности \(R = \frac{abc}{4S} = \frac{25 \cdot 33 \cdot 52}{4 \cdot 330} = \frac{25 \cdot 33 \cdot 52}{1320} = \frac{42900}{1320} = 32.5\) см.
Сумма радиусов \(r+R = 6 + 32.5 = 38.5\) см.
Г) 38,5 см

12. Пусть стороны треугольника \(a=11\), \(b=23\), а медиана к третьей стороне \(m_c=10\).

По формуле медианы: \(m_c^2 = \frac{2a^2 + 2b^2 — c^2}{4}\).
\(10^2 = \frac{2 \cdot 11^2 + 2 \cdot 23^2 — c^2}{4}\)
\(100 = \frac{2 \cdot 121 + 2 \cdot 529 — c^2}{4}\)
\(400 = 242 + 1058 — c^2\)
\(400 = 1300 — c^2\)
\(c^2 = 1300 — 400\)
\(c^2 = 900\)
\(c = \sqrt{900} = 30\) см.
Б) 30 см

1. Для определения верного равенства рассмотрим формулы приведения для тригонометрических функций.

Формулы приведения для угла \((180^\circ — \alpha)\) следующие:
\(\sin (180^\circ — \alpha) = \sin \alpha\)
\(\cos (180^\circ — \alpha) = -\cos \alpha\)

Теперь проанализируем каждое из предложенных равенств:

А) \(\cos (180^\circ — \alpha) = \sin \alpha\). Согласно формулам приведения, \(\cos (180^\circ — \alpha) = -\cos \alpha\). Следовательно, равенство \(\cos (180^\circ — \alpha) = \sin \alpha\) неверно.

Б) \(\cos (180^\circ — \alpha) = \cos \alpha\). Согласно формулам приведения, \(\cos (180^\circ — \alpha) = -\cos \alpha\). Следовательно, равенство \(\cos (180^\circ — \alpha) = \cos \alpha\) неверно.

В) \(\sin (180^\circ — \alpha) = \cos \alpha\). Согласно формулам приведения, \(\sin (180^\circ — \alpha) = \sin \alpha\). Следовательно, равенство \(\sin (180^\circ — \alpha) = \cos \alpha\) неверно.

Г) \(\sin (180^\circ — \alpha) = \sin \alpha\). Согласно формулам приведения, \(\sin (180^\circ — \alpha) = \sin \alpha\). Следовательно, равенство \(\sin (180^\circ — \alpha) = \sin \alpha\) верно.

Таким образом, верным равенством является Г) \(\sin (180^\circ — \alpha) = \sin \alpha\).

2. Для определения верного неравенства необходимо определить знаки тригонометрических функций для заданных углов.

Определим знак \(\sin 100^\circ\): Угол \(100^\circ\) находится во второй четверти. Вторая четверть соответствует углам от \(90^\circ\) до \(180^\circ\). В этой четверти значение синуса положительно. Следовательно, \(\sin 100^\circ > 0\).

Определим знак \(\cos 110^\circ\): Угол \(110^\circ\) находится во второй четверти. Вторая четверть соответствует углам от \(90^\circ\) до \(180^\circ\). В этой четверти значение косинуса отрицательно. Следовательно, \(\cos 110^\circ < 0\).

Определим знак \(\cos 10^\circ\): Угол \(10^\circ\) находится в первой четверти. Первая четверть соответствует углам от \(0^\circ\) до \(90^\circ\). В этой четверти значение косинуса положительно. Следовательно, \(\cos 10^\circ > 0\).

Определим значение \(\cos 90^\circ\): Косинус угла \(90^\circ\) равен нулю. Следовательно, \(\cos 90^\circ = 0\).

Теперь проанализируем каждое из предложенных неравенств:

А) \(\sin 100^\circ \cos 110^\circ > 0\). Мы определили, что \(\sin 100^\circ > 0\) и \(\cos 110^\circ < 0\). Произведение положительного числа на отрицательное число всегда отрицательно. То есть, \(\sin 100^\circ \cos 110^\circ < 0\). Следовательно, неравенство \(\sin 100^\circ \cos 110^\circ > 0\) неверно.

Б) \(\sin 100^\circ \cos 10^\circ < 0\). Мы определили, что \(\sin 100^\circ > 0\) и \(\cos 10^\circ > 0\). Произведение положительного числа на положительное число всегда положительно. То есть, \(\sin 100^\circ \cos 10^\circ > 0\). Следовательно, неравенство \(\sin 100^\circ \cos 10^\circ < 0\) неверно.

В) \(\sin 100^\circ \cos 110^\circ < 0\). Мы определили, что \(\sin 100^\circ > 0\) и \(\cos 110^\circ < 0\). Произведение положительного числа на отрицательное число всегда отрицательно. То есть, \(\sin 100^\circ \cos 110^\circ < 0\). Следовательно, неравенство \(\sin 100^\circ \cos 110^\circ < 0\) верно.

Г) \(\sin 100^\circ \cos 90^\circ > 0\). Мы определили, что \(\sin 100^\circ > 0\) и \(\cos 90^\circ = 0\). Произведение любого числа на ноль равно нулю. То есть, \(\sin 100^\circ \cos 90^\circ = 0\). Следовательно, неравенство \(\sin 100^\circ \cos 90^\circ > 0\) неверно, так как \(0 > 0\) является ложным утверждением.

Таким образом, верным неравенством является В) \(\sin 100^\circ \cos 110^\circ < 0\).

3. Для определения длины третьей стороны треугольника, когда известны две стороны и угол между ними, применяется теорема косинусов. Формула теоремы косинусов выглядит так: \(c^2 = a^2 + b^2 — 2ab \cos(C)\), где \(a\) и \(b\) — длины известных сторон, а \(C\) — угол между ними. В данном случае, \(a = 3\) см, \(b = 8\) см, и угол \(C = 120^\circ\). Подставляем эти значения в формулу: \(c^2 = 3^2 + 8^2 — 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \cos(120^\circ)\). Вычисляем квадраты сторон: \(3^2 = 9\) и \(8^2 = 64\). Значение косинуса \(120^\circ\) равно \(-\frac{1}{2}\). Продолжаем вычисления: \(c^2 = 9 + 64 — 48 \cdot (-\frac{1}{2})\). Умножение \(48\) на \(-\frac{1}{2}\) дает \(-24\). Таким образом, уравнение становится: \(c^2 = 73 — (-24)\). Это равно \(c^2 = 73 + 24\), что дает \(c^2 = 97\). Чтобы найти длину стороны \(c\), необходимо извлечь квадратный корень из 97: \(c = \sqrt{97}\) см.

4. Для определения типа угла, лежащего против большей стороны треугольника, необходимо использовать теорему косинусов. Стороны треугольника равны 4 см, 7 см и 9 см. Наибольшая сторона — 9 см. Обозначим стороны как \(a = 4\), \(b = 7\), \(c = 9\). Угол, лежащий против стороны \(c\), обозначим как \(C\). Формула теоремы косинусов для нахождения угла: \(c^2 = a^2 + b^2 — 2ab \cos(C)\). Подставим известные значения: \(9^2 = 4^2 + 7^2 — 2 \cdot 4 \cdot 7 \cdot \cos(C)\). Вычисляем квадраты сторон: \(81 = 16 + 49 — 56 \cos(C)\). Суммируем квадраты меньших сторон: \(81 = 65 — 56 \cos(C)\). Переносим 65 в левую часть уравнения: \(81 — 65 = -56 \cos(C)\), что дает \(16 = -56 \cos(C)\). Теперь выражаем \(\cos(C)\): \(\cos(C) = \frac{16}{-56}\). Сокращаем дробь: \(\cos(C) = -\frac{2}{7}\). Поскольку значение косинуса угла отрицательно, это означает, что угол \(C\) является тупым (то есть, его градусная мера больше \(90^\circ\)).

5. Пусть длина одной из сторон треугольника будет \(x\) см. Тогда длина другой стороны, которая на 10 см больше, составит \((x + 10)\) см. Угол между этими двумя сторонами равен \(60^\circ\), а длина третьей стороны равна 14 см. Применим теорему косинусов для нахождения \(x\): \(14^2 = x^2 + (x + 10)^2 — 2 \cdot x \cdot (x + 10) \cdot \cos(60^\circ)\). Вычисляем \(14^2 = 196\). Раскрываем скобки для \((x + 10)^2\): \((x + 10)^2 = x^2 + 20x + 100\). Значение \(\cos(60^\circ)\) равно \(\frac{1}{2}\). Подставляем эти значения в уравнение: \(196 = x^2 + (x^2 + 20x + 100) — 2x(x + 10) \cdot \frac{1}{2}\). Упрощаем последнее слагаемое: \(2x(x + 10) \cdot \frac{1}{2} = x(x + 10) = x^2 + 10x\). Теперь уравнение выглядит так: \(196 = x^2 + x^2 + 20x + 100 — (x^2 + 10x)\). Объединяем подобные члены: \(196 = 2x^2 + 20x + 100 — x^2 — 10x\). Получаем: \(196 = x^2 + 10x + 100\). Переносим 196 в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: \(x^2 + 10x + 100 — 196 = 0\). Это дает: \(x^2 + 10x — 96 = 0\). Решаем квадратное уравнение с помощью формулы корней: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}\). Здесь \(a = 1\), \(b = 10\), \(c = -96\). Вычисляем дискриминант: \(D = 10^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 100 + 384 = 484\). Извлекаем квадратный корень из дискриминанта: \(\sqrt{D} = \sqrt{484} = 22\). Находим значения \(x\): \(x_1 = \frac{-10 + 22}{2} = \frac{12}{2} = 6\). И \(x_2 = \frac{-10 — 22}{2} = \frac{-32}{2} = -16\). Длина стороны не может быть отрицательной, поэтому принимаем \(x = 6\) см. Таким образом, длины сторон треугольника составляют: 6 см, \(6 + 10 = 16\) см, и 14 см. Сравнивая эти значения, наибольшей стороной является 16 см.

6. Для начала, давайте обозначим стороны параллелограмма. Пусть одна сторона будет \(a\) и другая \(b\).

По условию, их отношение равно \(2:3\), поэтому мы можем записать \(a = 2x\) и \(b = 3x\), где \(x\) — это некоторый коэффициент пропорциональности.

Теперь вспомним свойство параллелограмма, которое связывает его стороны и диагонали. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон. Если диагонали обозначить как \(d_1\) и \(d_2\), то формула выглядит так: \(d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)\).

Подставим известные значения диагоналей \(d_1 = 17\) см и \(d_2 = 19\) см, а также наши выражения для сторон \(a = 2x\) и \(b = 3x\) в эту формулу:
\(17^2 + 19^2 = 2((2x)^2 + (3x)^2)\).
Возведем числа в квадрат: \(289 + 361 = 2(4x^2 + 9x^2)\).
Сложим числа в левой части и слагаемые с \(x^2\) в правой части: \(650 = 2(13x^2)\).
Выполним умножение в правой части: \(650 = 26x^2\).
Чтобы найти \(x^2\), разделим обе части уравнения на \(26\): \(x^2 = \frac{650}{26}\).
Вычислим это деление: \(x^2 = 25\).
Теперь найдем значение \(x\), извлекая квадратный корень из \(25\). Так как длина стороны не может быть отрицательной, берем положительное значение: \(x = \sqrt{25} = 5\).

Теперь, когда мы знаем \(x\), мы можем найти длины сторон параллелограмма:
\(a = 2x = 2 \cdot 5 = 10\) см.
\(b = 3x = 3 \cdot 5 = 15\) см.

Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме его смежных сторон: \(P = 2(a + b)\).
Подставим найденные значения сторон: \(P = 2(10 + 15)\).
Сложим числа в скобках: \(P = 2(25)\).
Выполним умножение: \(P = 50\) см.

7. В этой задаче нам дан треугольник ABC с известными значениями стороны AB и двух углов. Нам нужно найти длину стороны BC. Для решения таких задач удобно использовать теорему синусов.

Теорема синусов гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла одинаково для всех сторон и углов этого треугольника. То есть, для треугольника ABC: \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\).
В нашем случае, сторона BC противолежит углу A, а сторона AB противолежит углу C. Поэтому мы можем записать: \(\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}\).

Известные значения: \(AB = 8\) см, \(\angle C = 30^\circ\), \(\angle A = 45^\circ\).
Подставим эти значения в формулу: \(\frac{BC}{\sin 45^\circ} = \frac{8}{\sin 30^\circ}\).

Теперь вспомним значения синусов для этих углов:
\(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
\(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\).

Подставим эти значения в наше уравнение: \(\frac{BC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8}{\frac{1}{2}}\).

Чтобы найти BC, умножим обе части уравнения на \(\frac{\sqrt{2}}{2}\):
\(BC = \frac{8}{\frac{1}{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\).
Сначала вычислим \(\frac{8}{\frac{1}{2}}\), что равно \(8 \cdot 2 = 16\).
Теперь подставим это обратно: \(BC = 16 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\).
Выполним умножение: \(BC = \frac{16\sqrt{2}}{2}\).
Сократим дробь: \(BC = 8\sqrt{2}\) см.

8. В этой задаче нам дан треугольник ABC с двумя известными углами, и нам нужно найти отношение сторон AC : BC. Снова, для работы со сторонами и углами треугольника, удобно использовать теорему синусов.

Сначала найдем третий угол треугольника, \(\angle C\). Сумма углов в любом треугольнике равна \(180^\circ\).
\(\angle C = 180^\circ — \angle A — \angle B\).
Подставим известные значения углов: \(\angle C = 180^\circ — 120^\circ — 30^\circ\).
Вычислим: \(\angle C = 30^\circ\).

Теперь применим теорему синусов. Сторона AC противолежит углу B, а сторона BC противолежит углу A.
Согласно теореме синусов: \(\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}\).

Нам нужно найти отношение \(\frac{AC}{BC}\). Для этого разделим обе части уравнения на BC и умножим на \(\sin B\):
\(\frac{AC}{BC} = \frac{\sin B}{\sin A}\).

Теперь подставим известные значения углов:
\(\frac{AC}{BC} = \frac{\sin 30^\circ}{\sin 120^\circ}\).

Вспомним значения синусов для этих углов:
\(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\).
Для \(\sin 120^\circ\) можно использовать формулу приведения: \(\sin(180^\circ — \alpha) = \sin \alpha\).
Так что \(\sin 120^\circ = \sin(180^\circ — 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Подставим эти значения в наше отношение:
\(\frac{AC}{BC} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\).

Чтобы упростить эту «двойную» дробь, можно умножить числитель и знаменатель на \(2\), или просто заметить, что знаменатели \(\frac{1}{2}\) и \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) одинаковы и сокращаются:
\(\frac{AC}{BC} = \frac{1}{\sqrt{3}}\).

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\):
\(\frac{AC}{BC} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}\).
\(\frac{AC}{BC} = \frac{\sqrt{3}}{3}\).

10. Для нахождения площади треугольника используется формула \(S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma\), где \(a\) и \(b\) — длины двух сторон треугольника, а \(\gamma\) — угол между этими сторонами.

В данном случае нам даны длины двух сторон треугольника: \(a = 8\) см и \(b = 12\) см.

Чтобы площадь треугольника \(S\) была наибольшей, необходимо, чтобы значение \(\sin\gamma\) было максимально возможным, так как длины сторон \(a\) и \(b\) являются фиксированными.

Максимальное значение синуса любого угла равно 1. Это происходит, когда угол \(\gamma\) равен \(90^\circ\).

Таким образом, наибольшая площадь треугольника будет достигнута, когда угол между сторонами 8 см и 12 см равен \(90^\circ\).

Подставим известные значения в формулу площади:
\(S_{max} = \frac{1}{2} \cdot 8 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} \cdot \sin 90^\circ\)

Поскольку \(\sin 90^\circ = 1\), вычисление принимает вид:
\(S_{max} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 \cdot 1\)
\(S_{max} = \frac{1}{2} \cdot 96\)
\(S_{max} = 48\) см\(^2\).

Б) 48 см\(^2\)

11. Для треугольника со сторонами 25 см, 33 см и 52 см, сначала найдем его полупериметр \(p\).
Полупериметр \(p\) вычисляется как сумма всех сторон, деленная на 2:
\(p = \frac{25 + 33 + 52}{2} = \frac{110}{2} = 55\) см.

Далее, найдем площадь треугольника \(S\) по формуле Герона:
\(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)
Подставим значения:
\(S = \sqrt{55(55-25)(55-33)(55-52)}\)
\(S = \sqrt{55 \cdot 30 \cdot 22 \cdot 3}\)
Разложим числа на простые множители для удобства извлечения корня:
\(S = \sqrt{(5 \cdot 11) \cdot (2 \cdot 3 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 11) \cdot 3}\)
Сгруппируем одинаковые множители:
\(S = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 11^2}\)
Извлечем корень:
\(S = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 = 330\) см\(^2\).

Теперь найдем радиус вписанной окружности \(r\). Формула для радиуса вписанной окружности:
\(r = \frac{S}{p}\)
Подставим значения:
\(r = \frac{330}{55} = 6\) см.

Затем найдем радиус описанной окружности \(R\). Формула для радиуса описанной окружности:
\(R = \frac{abc}{4S}\)
Подставим значения сторон \(a=25\), \(b=33\), \(c=52\) и площадь \(S=330\):
\(R = \frac{25 \cdot 33 \cdot 52}{4 \cdot 330}\)
Выполним умножение в числителе:
\(25 \cdot 33 = 825\)
\(825 \cdot 52 = 42900\)
Выполним умножение в знаменателе:
\(4 \cdot 330 = 1320\)
Теперь разделим:
\(R = \frac{42900}{1320} = 32.5\) см.

Наконец, найдем сумму радиусов вписанной и описанной окружностей:
\(r + R = 6 + 32.5 = 38.5\) см.

Г) 38,5 см

12. Для треугольника со сторонами \(a=11\) см, \(b=23\) см и медианой \(m_c=10\) см, проведенной к третьей стороне \(c\), используем формулу для длины медианы:

\(m_c^2 = \frac{2a^2 + 2b^2 — c^2}{4}\)
Подставим известные значения в формулу:
\(10^2 = \frac{2 \cdot 11^2 + 2 \cdot 23^2 — c^2}{4}\)
Вычислим квадраты и умножим:
\(100 = \frac{2 \cdot 121 + 2 \cdot 529 — c^2}{4}\)
\(100 = \frac{242 + 1058 — c^2}{4}\)
Сложим числа в числителе:
\(100 = \frac{1300 — c^2}{4}\)
Умножим обе части уравнения на 4:
\(400 = 1300 — c^2\)
Перенесем \(c^2\) в левую часть, а 400 в правую:
\(c^2 = 1300 — 400\)
\(c^2 = 900\)
Извлечем квадратный корень, чтобы найти длину стороны \(c\):
\(c = \sqrt{900}\)
\(c = 30\) см.

Б) 30 см