ГДЗ по Геометрии 9 Класс Проверьте себя Номер 2 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

1. Чему равно количество сторон правильного многоугольника, если его угол равен 170°?
А) 30 В) 36 Б) 32 Г) такого многоугольника не существует

2. Чему равен центральный угол правильного десятиугольника?
А) 18° В) 144° Б) 36° Г) 10°

3. Какой наибольший центральный угол может иметь правильный многоугольник?
А) 90° В) 150° Б) 120° Г) указать невозможно

4. В окружность вписан правильный шестиугольник, сторона которого равна \(a\). Чему равна сторона треугольника, описанного около этой окружности?
А) \( \frac{a \sqrt{3}}{3} \) Б) \( \frac{a \sqrt{3}}{2} \) В) \( a \sqrt{3} \) Г) \( 2a \sqrt{3} \)

5. Чему равен радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, меньшая диагональ которого равна 12 см?
А) 6 см Б) \( 6 \sqrt{3} \) см В) \( 2 \sqrt{3} \) см Г) 12 см

6. Чему равна длина дуги окружности, градусная мера которой равна 207°, если радиус окружности 4 см?
А) \(4,6 \pi\) см Б) \(23 \pi\) см В) 4,6 см Г) 23 см

7. Какую часть площади круга составляет площадь сектора, центральный угол которого равен 140°?
А) \(\frac{7}{9}\) Б) \(\frac{7}{12}\) В) \(\frac{7}{15}\) Г) \(\frac{7}{18}\)

8. Вписанный в окружность угол, равный 40°, опирается на дугу длиной 8 см. Какова длина данной окружности?
А) 36 см Б) 72 см В) \(72 \pi\) см Г) \(36 \pi\) см

9. Какой должна быть длина хорды окружности, радиус которой равен \(R\), чтобы длины дуг, на которые концы этой хорды делят окружность, относились как 2 : 1?
А) \(R\) Б) \(2R\) В) \(\frac{R \sqrt{3}}{2}\) Г) \(R \sqrt{3}\)

10. На рисунке 67 изображён вписанный в окружность треугольник \(ABC\), \(\angle A = 30^\circ\), \(BC = a\). Чему равна площадь сегмента, основание которого стягивает дугу \(BAC\)?

А) \(\frac{a^2 (2 \pi + 3 \sqrt{3})}{12}\)
Б) \(\frac{a^2 (2 \pi — 3 \sqrt{3})}{12}\)
В) \(\frac{a^2 (10 \pi + 3 \sqrt{3})}{12}\)
Г) \(\frac{a^2 (10 \pi — 3 \sqrt{3})}{12}\)

11. В треугольнике \(ABC\) известно, что \(\angle A = 20^\circ\), \(\angle C = 30^\circ\), \(AC = 14\) см. Окружность с центром в точке \(A\) касается прямой \(BC\). Чему равна длина дуги этой окружности, принадлежащей треугольнику \(ABC\)?
А) \(\frac{7 \pi}{18}\) см
Б) \(\frac{7 \pi}{9}\) см
В) \(\frac{7 \pi}{12}\) см
Г) \(\frac{7 \pi}{6}\) см

12. Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен \(6 \sqrt{3}\) см, а радиус вписанной в него окружности — 9 см. Сколько сторон имеет многоугольник?
А) 6 Б) 12 В) 9 Г) 18

1. Внутренний угол правильного многоугольника равен \(170^\circ\). Формула: \(170 = \frac{(n-2) \times 180}{n}\). Умножаем на \(n\): \(170n = 180n — 360\). Переносим: \(180n — 170n = 360\). Получаем \(10n = 360\), значит \(n = \frac{360}{10} = 36\). Ответ: В) 36.

2. Центральный угол правильного десятиугольника: \( \frac{360}{10} = 36^\circ \). Ответ: Б) 36°.

3. Максимальный центральный угол при \(n=3\): \( \frac{360}{3} = 120^\circ \). Ответ: Б) 120°.

4. В правильном треугольнике сторона \(x\) связана с радиусом описанной окружности \(R\) так: \(x = \sqrt{3} R\). В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен стороне \(a\), значит \(x = a \sqrt{3}\).

5. Меньшая диагональ правильного шестиугольника равна стороне \(a\), значит \(a = 12\). Радиус вписанной окружности: \(r = \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{12 \sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3}\).

6. Длина дуги: \(L = \frac{207}{360} \times 2 \pi \times 4 = \frac{207}{360} \times 8 \pi = \frac{46}{10} \pi = 4,6 \pi\).

7. Площадь сектора равна части круга, которая определяется отношением угла к 360°. Значит, часть площади равна \( \frac{140}{360} = \frac{14}{36} = \frac{7}{18} \).

8. Вписанный угол равен 40°, значит центральный угол в два раза больше: \( 2 \times 40 = 80 \) градусов. Дуга длиной 8 см соответствует углу 80°, длина всей окружности \( L \) найдётся из пропорции \( \frac{8}{80} = \frac{L}{360} \), откуда \( L = \frac{8 \times 360}{80} = 36 \) см.

9. Пусть меньший угол равен \( \theta \), тогда больший \( 2 \theta \), и сумма равна \( 3 \theta = 360^\circ \), значит \( \theta = 120^\circ \). Длина хорды \( c = 2R \sin \frac{\theta}{2} = 2R \sin 60^\circ = 2R \times \frac{\sqrt{3}}{2} = R \sqrt{3} \).

10. Угол при центре, соответствующий дуге BAC, равен \(360^\circ — 2 \times 30^\circ = 300^\circ\). Радиус окружности \(R = \frac{a}{2 \sin 30^\circ} = a\).

Площадь сегмента равна площади сектора минус площадь треугольника:

\(S = \frac{R^2 \pi \times 300^\circ}{180^\circ \times 2} — \frac{R^2 \sin 300^\circ}{2} = \frac{a^2 \times 5 \pi}{6} — \frac{a^2 \times (-\frac{\sqrt{3}}{2})}{2} = \frac{5 \pi a^2}{6} + \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{10 \pi a^2}{12} +\)
\(+ \frac{3 \sqrt{3} a^2}{12} = \frac{a^2 (10 \pi + 3 \sqrt{3})}{12}\)

11. Угол B равен \(180^\circ — 20^\circ — 30^\circ = 130^\circ\). По теореме синусов:

\(AB = \frac{AC \sin 30^\circ}{\sin 130^\circ} = \frac{14 \times \frac{1}{2}}{\sin 130^\circ} = \frac{7}{\sin 50^\circ} \approx 9.14\)

Высота из A на BC:

\(h = AB \sin 130^\circ = 9.14 \times \sin 130^\circ = 9.14 \times 0.766 = 7\)

Длина дуги с центром в A и радиусом \(7\), угол \(20^\circ = \frac{\pi}{9}\):

\(l = 7 \times \frac{\pi}{9} = \frac{7 \pi}{9}\)

12. Для правильного многоугольника \(r = R \cos \frac{\pi}{n}\).

Выражаем косинус: \(\cos \frac{\pi}{n} = \frac{9}{6 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Значит \(\frac{\pi}{n} = \frac{\pi}{6}\), откуда \(n = 6\).

1. Рассмотрим правильный многоугольник, у которого все внутренние углы равны. Известно, что внутренний угол равен \(170^\circ\). Чтобы найти количество сторон \(n\), воспользуемся формулой для вычисления внутреннего угла правильного многоугольника: \( \text{внутренний угол} = \frac{(n-2) \times 180}{n} \). Подставляем известное значение: \(170 = \frac{(n-2) \times 180}{n}\).

Для удобства решим уравнение. Умножаем обе части на \(n\), чтобы избавиться от знаменателя: \(170n = 180n — 360\). Здесь мы раскрыли скобки, умножая \(180\) на \(n-2\), что даёт \(180n — 360\).

Теперь перенесём все слагаемые с \(n\) в одну сторону: \(180n — 170n = 360\). Это упрощается до \(10n = 360\). Делим обе части на 10, получаем \(n = \frac{360}{10} = 36\). Значит, правильный многоугольник имеет 36 сторон. Ответ: В) 36.

2. Центральный угол правильного многоугольника рассчитывается по формуле \( \text{центральный угол} = \frac{360}{n} \), где \(n\) — количество сторон. Для десятиугольника \(n = 10\), значит центральный угол равен \( \frac{360}{10} = 36^\circ \). Это значит, что при прохождении от одной вершины многоугольника к соседней через центр, угол поворота составляет \(36^\circ\). Ответ: Б) 36°.

3. Центральный угол правильного многоугольника зависит от количества сторон: чем меньше сторон, тем больше угол. Максимальный центральный угол достигается у треугольника, где \(n=3\). Подставляем в формулу: \( \frac{360}{3} = 120^\circ \). Это значит, что в треугольнике угол между двумя соседними радиусами, проведёнными из центра, равен \(120^\circ\). Ответ: Б) 120°.

4. Правильный шестиугольник вписан в окружность, значит радиус окружности равен стороне шестиугольника \(a\). Рассмотрим правильный треугольник, описанный около этой же окружности. Для правильного треугольника сторона \(x\) связана с радиусом описанной окружности \(R\) формулой \(x = \sqrt{3} R\). Поскольку \(R = a\), получаем \(x = a \sqrt{3}\).

5. В правильном шестиугольнике меньшая диагональ равна стороне \(a\). По условию меньшая диагональ равна 12 см, значит \(a = 12\). Радиус вписанной окружности правильного шестиугольника равен \(r = \frac{a \sqrt{3}}{2}\). Подставим значение \(a\): \(r = \frac{12 \sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3}\) см.

6. Длина дуги окружности вычисляется по формуле \(L = \frac{\alpha}{360} \times 2 \pi r\), где \(\alpha = 207^\circ\), \(r = 4\) см. Подставим значения: \(L = \frac{207}{360} \times 2 \pi \times 4 = \frac{207}{360} \times 8 \pi\). Сократим дробь: \(\frac{207 \times 8}{360} = \frac{1656}{360} = \frac{46}{10} = 4,6\). Значит \(L = 4,6 \pi\) см.

7. Площадь сектора пропорциональна центральному углу, поэтому нужно найти, какую часть от полного круга занимает угол в 140 градусов. Полный круг — это 360 градусов. Значит, часть площади сектора равна \( \frac{140}{360} \). Сократим дробь: \( \frac{140}{360} = \frac{14}{36} = \frac{7}{18} \). Значит, площадь сектора составляет \( \frac{7}{18} \) площади круга.

8. Вписанный угол равен 40 градусов. Известно, что вписанный угол равен половине центрального угла, который опирается на ту же дугу. Значит, центральный угол равен \( 2 \times 40 = 80 \) градусов. Дуга, на которую опирается вписанный угол, равна 8 см и соответствует углу 80 градусов. Чтобы найти длину всей окружности, составим пропорцию: длина дуги 8 см соответствует 80 градусам, а длина полной окружности \( L \) соответствует 360 градусам. Значит, \( \frac{8}{80} = \frac{L}{360} \). Выразим \( L \): \( L = \frac{8 \times 360}{80} = 36 \) см.

9. Пусть меньшая дуга соответствует углу \( \theta \), тогда большая дуга соответствует углу \( 2\theta \), так как их длины относятся как 2 к 1. Полный круг — это 360 градусов, значит сумма углов: \( \theta + 2\theta = 3\theta = 360 \), откуда \( \theta = \frac{360}{3} = 120 \) градусов. Длина хорды, которая делит окружность на дуги с такими углами, равна \( c = 2R \sin \frac{\theta}{2} \). Подставим значение: \( c = 2R \sin 60^\circ = 2R \times \frac{\sqrt{3}}{2} = R \sqrt{3} \).

10. Угол \(A\) равен \(30^\circ\), значит дуга \(BC\), на которую опирается этот угол, равна \(2 \times 30^\circ = 60^\circ\). Тогда дуга \(BAC\), противоположная стороне \(BC\), равна \(360^\circ — 60^\circ = 300^\circ\).

Радиус окружности \(R\) можно найти из длины хорды \(BC = a\) и угла \(30^\circ\). По формуле длины хорды: \(a = 2 R \sin 30^\circ\), тогда \(a = 2 R \times \frac{1}{2} = R\), значит \(R = a\).

Площадь сегмента равна площади сектора с углом \(300^\circ\) минус площадь треугольника, образованного двумя радиусами и хордой \(BC\).

Площадь сектора: \(S_{\text{сектор}} = \frac{R^2 \pi \times 300^\circ}{180^\circ \times 2} = \frac{a^2 \times 5 \pi}{6}\).

Площадь треугольника: \(S_{\triangle} = \frac{1}{2} R^2 \sin 300^\circ = \frac{1}{2} a^2 \times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\).

Площадь сегмента: \(S = S_{\text{сектор}} — S_{\triangle} = \frac{5 \pi a^2}{6} — \left(-\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\right) = \frac{5 \pi a^2}{6} + \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\).

Приводим к общему знаменателю 12: \(\frac{5 \pi a^2}{6} = \frac{10 \pi a^2}{12}\), \(\frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3 \sqrt{3} a^2}{12}\).

Итог: \(S = \frac{10 \pi a^2}{12} + \frac{3 \sqrt{3} a^2}{12} = \frac{a^2 (10 \pi + 3 \sqrt{3})}{12}\).

11. Угол \(B\) в треугольнике равен \(180^\circ — 20^\circ — 30^\circ = 130^\circ\).

По теореме синусов: \(\frac{AB}{\sin 30^\circ} = \frac{AC}{\sin 130^\circ}\).

Подставляем известные значения: \(AC = 14\), \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\), \(\sin 130^\circ = \sin 50^\circ \approx 0.766\).

Тогда \(AB = \frac{14 \times \frac{1}{2}}{0.766} = \frac{7}{0.766} \approx 9.14\).

Высота из точки \(A\) на сторону \(BC\) равна \(h = AB \sin 130^\circ = 9.14 \times 0.766 = 7\).

Длина дуги с центром в \(A\), радиусом \(7\) и углом \(20^\circ = \frac{\pi}{9}\) равна \(l = 7 \times \frac{\pi}{9} = \frac{7 \pi}{9}\).

12. Для правильного многоугольника радиус вписанной окружности \(r\) и радиус описанной окружности \(R\) связаны формулой: \(r = R \cos \frac{\pi}{n}\).

Подставляем данные: \(9 = 6 \sqrt{3} \cos \frac{\pi}{n}\).

Выражаем косинус: \(\cos \frac{\pi}{n} = \frac{9}{6 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Значит \(\frac{\pi}{n} = \frac{\pi}{6}\), откуда \(n = 6\).