ГДЗ по Геометрии 9 Класс Проверьте себя Номер 3 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

1. Какие координаты имеет середина отрезка АВ, если А (-6; 7), B (4; -9)?
2. Чему равно расстояние между точками С (8; -11) и D (2; -3)?
3. Какие координаты имеет центр окружности \((x — 5)^2 + (y + 9)^2 = 16\)?
4. Центром какой из данных окружностей является начало координат?
5. Найдите радиус окружности, диаметром которой является отрезок МК, если М (14; 12) и К (-10; 2).
6. Каковы координаты точки пересечения прямой \(\text{5x} — \text{3y} = \text{15}\) с осью абсцисс?
7. Четырёхугольник ABCD — параллелограмм, В (-2; 3), С (10; 9), D (7; 0). Чему равны координаты вершины А?
8. Чему равны координаты точки оси ординат, равноудалённой от точек А (-3; 4) и В (1; 8)?
9. Чему равна абсцисса точки прямой АВ, ордината которой равна 2, если А (-7; 4), B (9; 12)?
10. Чему равно расстояние между точкой пересечения прямых \(\text{x} — \text{y} = \text{4}\) и \(\text{x} + \text{3y} = \text{12}\) и точкой М (1; 7)?
11. Каково уравнение прямой, проходящей через точку Р (-1; 6) параллельно прямой \(\text{y} = \text{2x} — \text{5}\)?
12. Чему равен радиус окружности \(\text{x}^2 + \text{y}^2 + \text{14y} — \text{12x} + \text{78} = \text{0}\)?

1. Координаты середины отрезка АВ \((-6; 7)\) и \((4; -9)\):
\(x_M = \frac{-6 + 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1\)
\(y_M = \frac{7 + (-9)}{2} = \frac{-2}{2} = -1\)
Середина отрезка АВ имеет координаты \((-1; -1)\).

2. Расстояние между точками С \((8; -11)\) и D \((2; -3)\):
\(d = \sqrt{(2 — 8)^2 + (-3 — (-11))^2}\)
\(d = \sqrt{(-6)^2 + (8)^2}\)
\(d = \sqrt{36 + 64}\)
\(d = \sqrt{100}\)
\(d = 10\)
Расстояние между точками С и D равно \(10\).

3. Координаты центра окружности \((x — 5)^2 + (y + 9)^2 = 16\):
Центр окружности имеет координаты \((5; -9)\).

4. Центром какой из данных окружностей является начало координат?
Уравнение окружности с центром в начале координат имеет вид \(x^2 + y^2 = R^2\).

5. Радиус окружности, диаметром которой является отрезок МК, если М \((14; 12)\) и К \((-10; 2)\):
Длина диаметра МК:
\(d_{MK} = \sqrt{(-10 — 14)^2 + (2 — 12)^2}\)
\(d_{MK} = \sqrt{(-24)^2 + (-10)^2}\)
\(d_{MK} = \sqrt{576 + 100}\)
\(d_{MK} = \sqrt{676}\)
\(d_{MK} = 26\)
Радиус окружности:
\(R = \frac{26}{2} = 13\)
Радиус окружности равен \(13\).

6. Координаты точки пересечения прямой \(\text{5x} — \text{3y} = \text{15}\) с осью абсцисс.
Ось абсцисс — это линия, где \(y = 0\).
Подставим \(y = 0\) в уравнение прямой:
\(5x — 3(0) = 15\)
\(5x = 15\)
\(x = \frac{15}{5}\)
\(x = 3\)
Координаты точки пересечения: \((3; 0)\).

7. Координаты вершины А параллелограмма ABCD.
В параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам. Найдем середину диагонали BD. Пусть это будет точка M.
Координаты середины M \((x_M; y_M)\) вычисляются по формулам:
\(x_M = \frac{x_B + x_D}{2} = \frac{-2 + 7}{2} = \frac{5}{2} = 2.5\)
\(y_M = \frac{y_B + y_D}{2} = \frac{3 + 0}{2} = \frac{3}{2} = 1.5\)
Значит, \(M(2.5; 1.5)\).
Точка M также является серединой диагонали AC. Пусть координаты вершины А будут \((x_A; y_A)\).
Тогда:
\(x_M = \frac{x_A + x_C}{2} \Rightarrow 2.5 = \frac{x_A + 10}{2}\)
\(2.5 \cdot 2 = x_A + 10\)
\(5 = x_A + 10\)
\(x_A = 5 — 10\)
\(x_A = -5\)
И
\(y_M = \frac{y_A + y_C}{2} \Rightarrow 1.5 = \frac{y_A + 9}{2}\)
\(1.5 \cdot 2 = y_A + 9\)
\(3 = y_A + 9\)
\(y_A = 3 — 9\)
\(y_A = -6\)
Координаты вершины А: \((-5; -6)\).

9. Абсцисса точки прямой АВ, ордината которой равна 2.
Найдем уравнение прямой, проходящей через точки А \((-7; 4)\) и В \((9; 12)\).
Сначала найдем угловой коэффициент \(m\):
\(m = \frac{y_B — y_A}{x_B — x_A} = \frac{12 — 4}{9 — (-7)} = \frac{8}{9 + 7} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}\)
Теперь используем уравнение прямой в виде \(y — y_1 = m(x — x_1)\), используя точку А \((-7; 4)\):
\(y — 4 = \frac{1}{2}(x — (-7))\)
\(y — 4 = \frac{1}{2}(x + 7)\)
Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:
\(2(y — 4) = x + 7\)
\(2y — 8 = x + 7\)
Выразим \(x\):
\(x = 2y — 8 — 7\)
\(x = 2y — 15\)
Теперь подставим заданную ординату \(y = 2\):
\(x = 2(2) — 15\)
\(x = 4 — 15\)
\(x = -11\)
Абсцисса точки равна \(-11\).

10. Расстояние равно \(\sqrt{(\text{1} — \text{6})^2 + (\text{7} — \text{2})^2} = 5\sqrt{2}\).

11. Уравнение прямой: \(\text{y} = \text{2x} + \text{8}\).

12. Радиус окружности равен \(\sqrt{7}\).

1. Для нахождения координат середины отрезка АВ, если А \((-6; 7)\) и B \((4; -9)\), используется формула для середины отрезка. Координата \(x\) середины отрезка находится как среднее арифметическое координат \(x\) концов отрезка, а координата \(y\) — как среднее арифметическое координат \(y\) концов отрезка.
Формула для координаты \(x\) середины отрезка: \(x_M = \frac{x_A + x_B}{2}\).
Подставляем значения: \(x_M = \frac{-6 + 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1\).
Формула для координаты \(y\) середины отрезка: \(y_M = \frac{y_A + y_B}{2}\).
Подставляем значения: \(y_M = \frac{7 + (-9)}{2} = \frac{7 — 9}{2} = \frac{-2}{2} = -1\).
Таким образом, середина отрезка АВ имеет координаты \((-1; -1)\).

2. Чтобы найти расстояние между точками С \((8; -11)\) и D \((2; -3)\), используем формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат.
Формула расстояния \(d\) между двумя точками \((x_1; y_1)\) и \((x_2; y_2)\) выглядит так: \(d = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2}\).
Подставляем координаты точек С и D:
\(d = \sqrt{(2 — 8)^2 + (-3 — (-11))^2}\).
Вычисляем разности координат:
\(d = \sqrt{(-6)^2 + (-3 + 11)^2}\).
\(d = \sqrt{(-6)^2 + (8)^2}\).
Возводим в квадрат полученные значения:
\(d = \sqrt{36 + 64}\).
Складываем значения под корнем:
\(d = \sqrt{100}\).
Извлекаем квадратный корень:
\(d = 10\).
Расстояние между точками С и D равно \(10\).

3. Уравнение окружности в общем виде записывается как \((x — h)^2 + (y — k)^2 = r^2\), где \((h; k)\) — это координаты центра окружности, а \(r\) — ее радиус.
Дано уравнение окружности: \((x — 5)^2 + (y + 9)^2 = 16\).
Сравнивая данное уравнение с общим видом, мы можем определить координаты центра.
Часть \((x — 5)^2\) соответствует \((x — h)^2\), откуда следует, что \(h = 5\).
Часть \((y + 9)^2\) можно переписать как \((y — (-9))^2\), что соответствует \((y — k)^2\), откуда следует, что \(k = -9\).
Таким образом, центр окружности имеет координаты \((5; -9)\).

4. Центром окружности является начало координат, если ее уравнение имеет вид \(x^2 + y^2 = R^2\), где \(R\) — радиус окружности.

5. Для того чтобы найти радиус окружности, диаметром которой является отрезок МК с координатами М \((14; 12)\) и К \((-10; 2)\), сначала необходимо найти длину этого диаметра. Длина диаметра равна расстоянию между точками М и К.
Используем формулу расстояния между двумя точками: \(d_{MK} = \sqrt{(x_K — x_M)^2 + (y_K — y_M)^2}\).
Подставляем координаты точек М и К:
\(d_{MK} = \sqrt{(-10 — 14)^2 + (2 — 12)^2}\).
Вычисляем разности координат:
\(d_{MK} = \sqrt{(-24)^2 + (-10)^2}\).
Возводим в квадрат полученные значения:
\(d_{MK} = \sqrt{576 + 100}\).
Складываем значения под корнем:
\(d_{MK} = \sqrt{676}\).
Извлекаем квадратный корень:
\(d_{MK} = 26\).
Длина диаметра МК равна \(26\).
Радиус окружности равен половине ее диаметра.
Радиус \(R = \frac{d_{MK}}{2}\).
Подставляем значение диаметра: \(R = \frac{26}{2} = 13\).
Радиус окружности равен \(13\).

6. Для нахождения координат точки пересечения прямой с осью абсцисс необходимо учесть, что ось абсцисс представляет собой линию, на которой значение ординаты \(y\) всегда равно нулю.
Подставим значение \(y = 0\) в заданное уравнение прямой \(5x — 3y = 15\).
Получаем: \(5x — 3(0) = 15\).
Упрощаем уравнение: \(5x — 0 = 15\), что приводит к \(5x = 15\).
Для нахождения значения \(x\) разделим обе части уравнения на 5: \(x = \frac{15}{5}\).
В результате вычислений получаем \(x = 3\).
Таким образом, координаты точки пересечения прямой \(5x — 3y = 15\) с осью абсцисс составляют \((3; 0)\).

7. Для определения координат вершины А параллелограмма ABCD, зная координаты вершин B, C и D, воспользуемся свойством параллелограмма, согласно которому его диагонали делятся точкой пересечения пополам. Это означает, что середина диагонали BD совпадает с серединой диагонали AC.
Сначала найдем координаты точки M, которая является серединой диагонали BD. Координаты вершин B и D заданы как \(B(-2; 3)\) и \(D(7; 0)\).
Формулы для нахождения координат середины отрезка \((x_M; y_M)\) следующие: \(x_M = \frac{x_B + x_D}{2}\) и \(y_M = \frac{y_B + y_D}{2}\).
Подставляем значения координат B и D:
\(x_M = \frac{-2 + 7}{2} = \frac{5}{2} = 2.5\).
\(y_M = \frac{3 + 0}{2} = \frac{3}{2} = 1.5\).
Следовательно, координаты середины диагонали BD, точки M, равны \((2.5; 1.5)\).
Теперь используем тот факт, что точка M также является серединой диагонали AC. Пусть координаты вершины А будут \((x_A; y_A)\), а координаты вершины С заданы как \(C(10; 9)\).
Применяем те же формулы для середины отрезка к диагонали AC:
\(x_M = \frac{x_A + x_C}{2} \Rightarrow 2.5 = \frac{x_A + 10}{2}\).
Умножаем обе части уравнения на 2: \(2.5 \cdot 2 = x_A + 10 \Rightarrow 5 = x_A + 10\).
Выражаем \(x_A\): \(x_A = 5 — 10 \Rightarrow x_A = -5\).
Аналогично для ординаты: \(y_M = \frac{y_A + y_C}{2} \Rightarrow 1.5 = \frac{y_A + 9}{2}\).
Умножаем обе части уравнения на 2: \(1.5 \cdot 2 = y_A + 9 \Rightarrow 3 = y_A + 9\).
Выражаем \(y_A\): \(y_A = 3 — 9 \Rightarrow y_A = -6\).
Таким образом, координаты вершины А параллелограмма ABCD равны \((-5; -6)\).

9. Для определения абсциссы точки прямой АВ, ордината которой равна 2, необходимо сначала найти уравнение прямой, проходящей через заданные точки А и В. Координаты точек А и В: \(A(-7; 4)\) и \(B(9; 12)\).
Первым шагом вычисляем угловой коэффициент \(m\) прямой АВ. Формула для углового коэффициента: \(m = \frac{y_B — y_A}{x_B — x_A}\).
Подставляем координаты точек А и В:
\(m = \frac{12 — 4}{9 — (-7)} = \frac{8}{9 + 7} = \frac{8}{16}\).
Упрощаем дробь: \(m = \frac{1}{2}\).
Теперь используем уравнение прямой в виде \(y — y_1 = m(x — x_1)\), подставив координаты одной из точек (например, А \((-7; 4)\)) и найденный угловой коэффициент:
\(y — 4 = \frac{1}{2}(x — (-7))\).
Упрощаем выражение в скобках: \(y — 4 = \frac{1}{2}(x + 7)\).
Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 2:
\(2(y — 4) = 2 \cdot \frac{1}{2}(x + 7)\).
\(2y — 8 = x + 7\).
Теперь выразим \(x\) из этого уравнения, чтобы было удобно подставлять значение \(y\):
\(x = 2y — 8 — 7\).
\(x = 2y — 15\).
Нам дана ордината точки, которая равна 2, то есть \(y = 2\). Подставим это значение в полученное уравнение для \(x\):
\(x = 2(2) — 15\).
Выполняем умножение: \(x = 4 — 15\).
Вычисляем окончательное значение \(x\): \(x = -11\).
Таким образом, абсцисса точки на прямой АВ, ордината которой равна 2, составляет \(-11\).

10. Точка пересечения прямых \(\text{x} — \text{y} = \text{4}\) и \(\text{x} + \text{3y} = \text{12}\) находится путем решения системы уравнений. Из первого уравнения \(\text{x} = \text{y} + \text{4}\). Подставим во второе: \((\text{y} + \text{4}) + \text{3y} = \text{12}\), что дает \(\text{4y} + \text{4} = \text{12}\), \(\text{4y} = \text{8}\), \(\text{y} = \text{2}\). Тогда \(\text{x} = \text{2} + \text{4} = \text{6}\). Точка пересечения \(\text{P}(\text{6}; \text{2})\). Расстояние между \(\text{P}(\text{6}; \text{2})\) и \(\text{M}(\text{1}; \text{7})\) равно \(\sqrt{(\text{1} — \text{6})^2 + (\text{7} — \text{2})^2} = \sqrt{(-5)^2 + (5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\).

11. Прямая, параллельная \(\text{y} = \text{2x} — \text{5}\), имеет тот же угловой коэффициент, равный \(\text{2}\). Используя формулу прямой \(\text{y} — \text{y}_1 = \text{m}(\text{x} — \text{x}_1)\) для точки \(\text{P}(-1; \text{6})\) и \(\text{m} = \text{2}\): \(\text{y} — \text{6} = \text{2}(\text{x} — (-\text{1}))\). Это упрощается до \(\text{y} — \text{6} = \text{2x} + \text{2}\), или \(\text{y} = \text{2x} + \text{8}\).

12. Уравнение окружности \(\text{x}^2 + \text{y}^2 + \text{14y} — \text{12x} + \text{78} = \text{0}\) можно переписать, дополнив до полных квадратов: \((\text{x}^2 — \text{12x} + \text{36}) + (\text{y}^2 + \text{14y} + \text{49}) + \text{78} — \text{36} — \text{49} = \text{0}\). Это дает \((\text{x} — \text{6})^2 + (\text{y} + \text{7})^2 — \text{7} = \text{0}\), или \((\text{x} — \text{6})^2 + (\text{y} + \text{7})^2 = \text{7}\). Радиус окружности \(\text{r}\) определяется из \(\text{r}^2 = \text{7}\), поэтому \(\text{r} = \sqrt{7}\).