ГДЗ по Геометрии 9 Класс Проверьте себя Номер 4 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

1. Какая из данных величин является векторной?
А) масса
Б) объём
В) скорость
Г) время

2. Чему равен модуль вектора, начало и конец которого совпадают?
А) 1
Б) –1
В) 5
Г) 0

3. Дан параллелограмм \(ABCD\). Какое из равенств является верным?
А) \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\)
В) \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{DA}\)
Б) \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\)
Г) \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}\)

4. Известно, что \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB}\). Какое из данных утверждений верно?
А) точка \(B\) – середина отрезка \(AM\)
Б) точка \(A\) – середина отрезка \(MB\)
В) точка \(M\) – середина отрезка \(AB\)
Г) точка \(M\) – вершина равнобедренного треугольника \(AMB\)

5. Даны точки \(A (-3; 4)\), \(B (1; -8)\). Точка \(M\) – середина отрезка \(AB\). Чему равны координаты вектора \(\overrightarrow{AM}\)?
А) (2; –6)
Б) (–2; 6)
В) (–2; –6)
Г) (6; –2)

6. При каком значении \(x\) векторы \(\vec{a} (x; 2)\) и \(\vec{b} (-4; 8)\) коллинеарны?
А) –1
Б) 1
В) 0
Г) \(\frac{1}{2}\)

7. Какое из данных равенств верно?
А) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CA}\)
В) \(\overrightarrow{AB} — \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}\)
Б) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC}\)
Г) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{DA}\)

8. Дан вектор \(\vec{a} (\sqrt{3}; -2)\). Какой из векторов равен вектору \(\sqrt{3} \vec{a}\)?
А) \(\vec{m} (1; -2\sqrt{3})\)
В) \(\vec{p} (3; -2)\)
Б) \(\vec{n} (-3; -2\sqrt{3})\)
Г) \(\vec{q} (3; -2\sqrt{3})\)

9. Точка \(M\) – середина стороны \(BC\) треугольника \(ABC\). Какое из данных равенств верно?
А) \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\)
В) \(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}\)
Б) \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}\)
Г) \(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} — \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}\)

10. Чему равно скалярное произведение векторов \(\vec{a} (2; -3)\) и \(\vec{b} (3; -2)\)?
А) 12
Б) –12
В) 0
Г) 6

11. При каком значении \(x\) векторы \(\vec{a} (2x; -3)\) и \(\vec{b} (1; 4)\) перпендикулярны?
А) –6
Б) 3
В) 12
Г) 6

12. Чему равен косинус угла между векторами \(\vec{a} (5; -12)\) и \(\vec{b} (-3; 4)\)?
А) \(\frac{63}{65}\)
Б) \(\frac{65}{63}\)
В) \(-\frac{63}{65}\)
Г) \(\frac{1}{2}\)

1. В) скорость
2. Г) 0
3. А) \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\)

4. В) точка \(M\) – середина отрезка \(AB\)

5. Б) (-2; 6)
6. А) –1
7. Г) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{DA}\)
8. Г) \(\vec{q} (3; -2\sqrt{3})\)
9. В) \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}\)

10. А) 12
11. Б) 3
12. А) \(\frac{63}{65}\)

1. Векторная величина — это величина, которая характеризуется не только числовым значением, но и направлением в пространстве. Из предложенных вариантов масса и объём — скалярные величины, время — тоже скаляр. Скорость — это векторная величина, так как она имеет направление и модуль.
Ответ: В) скорость

2. Модуль вектора — это длина отрезка, соединяющего начало и конец вектора. Если начало и конец вектора совпадают, то длина этого отрезка равна нулю. Модуль вектора не может быть отрицательным, поэтому ответ — 0.
Ответ: Г) 0

3. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны. Вектор, направленный от \(A\) к \(B\), равен вектору, направленному от \(D\) к \(C\), так как они параллельны и одинаковой длины. Вариант с \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) верен.

Ответ: А) \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\)

4. Из условия \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB}\) следует, что вектор от \(A\) до \(M\) равен вектору от \(M\) до \(B\). Это возможно, если точка \(M\) является серединой отрезка \(AB\), то есть делит его пополам.

Ответ: В) точка \(M\) – середина отрезка \(AB\)

5. Координаты точки \(M\), середины отрезка \(AB\), находятся по формуле:
\(M_x = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1\)
\(M_y = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{4 + (-8)}{2} = \frac{-4}{2} = -2\)

Вектор \(\overrightarrow{AM}\) имеет координаты:
\(M_x — A_x = -1 — (-3) = -1 + 3 = 2\)
\(M_y — A_y = -2 — 4 = -6\)

Ответ: (2; –6) — вариант А.

6. Векторы \(\vec{a} (x; 2)\) и \(\vec{b} (-4; 8)\) коллинеарны, если существует число \(\lambda\), такое что:
\(x = \lambda (-4)\)
\(2 = \lambda 8\)

Из второго уравнения:
\(\lambda = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\)

Подставляем в первое:
\(x = \frac{1}{4} \cdot (-4) = -1\)

Ответ: –1 — вариант А.

7. Проверим каждое равенство:

А) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\) — верно, так как путь от \(A\) к \(C\) через \(B\) равен прямому вектору \(\overrightarrow{AC}\).

В) \(\overrightarrow{AB} — \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}\) — неверно, так как \(\overrightarrow{AB} — \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + (-\overrightarrow{AC})\), а \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} — \overrightarrow{AB}\).

Б) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC}\) — неверно, левая часть равна \(\overrightarrow{AC}\), а правая — \(\overrightarrow{AC}\) только если точки совпадают, но это не гарантируется.

Г) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{DA}\) — неверно, сумма трёх векторов, образующих путь по четырём точкам, равна нулю, а \(\overrightarrow{DA}\) — вектор в обратную сторону.

Ответ: вариант А.

8. Вектор \(\sqrt{3} \vec{a} = \sqrt{3} (\sqrt{3}; -2) = (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}; \sqrt{3} \cdot (-2)) = (3; -2\sqrt{3})\).

Сравниваем с вариантами:
А) (1; –2\sqrt{3}) — не совпадает
В) (3; –2) — не совпадает
Б) (–3; –2\sqrt{3}) — не совпадает по первой координате
Г) (3; –2\sqrt{3}) — совпадает

Ответ: вариант Г.

9. Точка \(M\) – середина стороны \(BC\) треугольника \(ABC\). Тогда вектор \(\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}\). Вектор \(\overrightarrow{AM}\) можно выразить через \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\), учитывая, что \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} — \overrightarrow{AB}\). Тогда
\(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} — \overrightarrow{AB}) = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}\).

Верный ответ: В) \(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}\).

10. Скалярное произведение векторов \(\vec{a} (2; -3)\) и \(\vec{b} (3; -2)\) вычисляется по формуле:
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 3 + (-3) \cdot (-2) = 6 + 6 = 12\).
Верный ответ: А) 12.

11. Векторы \(\vec{a} (2x; -3)\) и \(\vec{b} (1; 4)\) перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю:
\(2x \cdot 1 + (-3) \cdot 4 = 0\),
\(2x — 12 = 0\),
\(2x = 12\),
\(x = 6\).
Верный ответ: Г) 6.

12. Косинус угла между векторами \(\vec{a} (5; -12)\) и \(\vec{b} (-3; 4)\) вычисляется по формуле:
\(\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\),
где \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot (-3) + (-12) \cdot 4 = -15 — 48 = -63\),
\(|\vec{a}| = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\),
\(|\vec{b}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\),
тогда
\(\cos \theta = \frac{-63}{13 \cdot 5} = \frac{-63}{65}\).
Верный ответ: В) \(-\frac{63}{65}\).