ГДЗ по Геометрии 9 Класс Проверьте себя Номер 5 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

1. Какой из отрезков, изображённых на рисунке 252, может быть образом отрезка \(AB\) при движении?
А) \(MN\)
Б) \(PQ\)
В) \(EF\)
Г) \(DC\)

2. Укажите уравнение образа прямой \(y = 2x\) при параллельном переносе на вектор \(\vec{a} (0; 1)\).
А) \(y = 2x + 1\)
Б) \(y = 2x — 1\)
В) \(y = x + 1\)
Г) \(y = x — 1\)

3. Какая из прямых, изображённых на рисунке 253, может быть образом прямой \(a\) при параллельном переносе?
А) \(b\)
Б) \(c\)
В) \(d\)
Г) \(a\)

4. Какая из указанных фигур имеет только одну ось симметрии?
А) квадрат
Б) окружность
В) парабола
Г) отрезок

5. При каких значениях \(x\) и \(y\) точки \(A (-1; y)\) и \(B (x; 6)\) симметричны относительно оси абсцисс?
А) \(x = -1, y = 6\)
Б) \(x = 1, y = -6\)
В) \(x = -1, y = -6\)
Г) \(x = 1, y = 6\)

6. Какая из указанных фигур имеет центр симметрии?
А) треугольник
Б) отрезок
В) трапеция
Г) угол

7. Какая из указанных фигур имеет центр симметрии и ось симметрии?
А) равносторонний треугольник
Б) параллелограмм
В) равнобокая трапеция
Г) прямая

8. При каких значениях \(x\) и \(y\) точки \(A (x; 7)\) и \(B (-4; y)\) симметричны относительно начала координат?
А) \(x = 4, y = -7\)
Б) \(x = 4, y = 7\)
В) \(x = -4, y = 7\)
Г) \(x = -4, y = -7\)

9. Точка \(O\) — центр правильного восьмиугольника \(ABCDEFKM\) (рис. 254). Укажите образ стороны \(EF\) при повороте вокруг точки \(O\) по часовой стрелке на угол 135°.
А) \(AB\)
Б) \(BC\)
В) \(AM\)
Г) \(CD\)

10. Продолжения боковых сторон \(AB\) и \(CD\) трапеции \(ABCD\) (рис. 255) пересекаются в точке \(M\). Укажите коэффициент гомотетии с центром в точке \(M\), при которой отрезок \(BC\) является образом отрезка \(AD\), если \(AB : BM = 7 : 2\).
А) \(\frac{2}{7}\)
Б) \(\frac{7}{2}\)
В) \(\frac{2}{9}\)
Г) \(\frac{9}{2}\)

11. Точка \(M (6; -3)\) — образ точки \(N (2; 1)\) при гомотетии с коэффициентом \(-\frac{1}{3}\). Укажите координаты центра гомотетии.
А) \((5; -2)\)
Б) \((8; -1)\)
В) \((-5; 2)\)
Г) \((-8; 1)\)

12. Прямая, параллельная стороне \(AB\) треугольника \(ABC\), пересекает его сторону \(AC\) в точке \(E\), а сторону \(BC\) — в точке \(F\). Чему равна площадь треугольника \(CEF\), если \(AE : EC = 3 : 2\), а площадь треугольника \(ABC\) равна 75 см²?
А) 36 см²
Б) 50 см²
В) 30 см²
Г) 12 см²

1. Б) \(PQ\)
2. А) \(y = 2x + 1\)
3. Г) \(a\)
4. В) У параболы только одна ось симметрии

5. (В) \(x = -1, y = -6\)
6. (Б) отрезок

7. (Г) прямая
8. (А) \(x = 4, y = -7\)

9. A

10. Б. \(\frac{7}{2}\)

11. A. (5; -2)
12. Г. \(12 \text{см}^2\)

1. Отрезок \(PQ\) может быть образом отрезка \(AB\) при движении, так как \(PQ = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\), что совпадает с длиной отрезка \(AB\).

2. Образом прямой \(y = 2x\) при параллельном переносе на вектор \(\vec{a} (0; 1)\) является прямая \(y = 2x + 1\), так как \(y(0) = 2 \cdot 0 + 1 = 1\) и \(y'(x) = 2\).

3. Прямая \(a\) может быть образом самой себя при параллельном переносе, так как параллельный перенос сохраняет параллельность прямых.

4. У параболы только одна ось симметрии, поэтому ответ В) У параболы только одна ось симметрии.

5. (В) \(x = -1, y = -6\)

Для того, чтобы точки \(A (-1; y)\) и \(B (x; 6)\) были симметричны относительно оси абсцисс, необходимо, чтобы координаты точек \(y\) были равны по модулю, но противоположны по знаку. Таким образом, \(y = -6\). Также, чтобы точки были симметричны, координата \(x\) точки \(B\) должна быть равна \(-1\), то есть \(x = -1\).

6. (Б) отрезок

Центр симметрии — это точка, относительно которой фигура симметрична сама себе. Отрезок имеет центр симметрии, который находится в середине отрезка.

7. (Г) прямая

Прямая имеет и центр симметрии (любая точка на прямой), и ось симметрии (любой перпендикуляр к прямой).

8. (А) \(x = 4, y = -7\)

Для того, чтобы точки \(A (x; 7)\) и \(B (-4; y)\) были симметричны относительно начала координат, необходимо, чтобы их координаты имели одинаковые модули, но противоположные знаки. Таким образом, \(x = 4\) и \(y = -7\).

9. При повороте стороны \(EF\) вокруг точки \(O\) на угол 135° образуется сторона \(AB\). Ответ: А) \(AB\)

10. Коэффициент гомотетии с центром в точке M, при котором BC является образом AD, можно найти, используя пропорцию сторон треугольника. Согласно условию, AB : BM = 7 : 2. Это означает, что коэффициент гомотетии равен \(\frac{7}{2}\). Таким образом, сторона BC является образом стороны AD при гомотетии с коэффициентом \(\frac{7}{2}\) и центром в точке M.

Для нахождения коэффициента гомотетии можно также использовать формулу \(k = \frac{BC}{AD}\), где k — коэффициент гомотетии, BC — образ стороны AD, а AD — исходная сторона. Подставляя известные значения, получаем \(k = \frac{BC}{AD} = \frac{7}{2}\).

Следовательно, коэффициент гомотетии с центром в точке M, при котором BC является образом AD, равен \(\frac{7}{2}\).

11. Для нахождения координат центра гомотетии, при которой точка N(2; 1) переходит в точку M(6; -3) с коэффициентом -\(\frac{1}{3}\), можно использовать формулу \((x_c; y_c) = \left(\frac{x_1 + kx_2}{1 + k}; \frac{y_1 + ky_2}{1 + k}\right)\), где (x_c; y_c) — координаты центра гомотетии, (x_1; y_1) — координаты исходной точки, (x_2; y_2) — координаты конечной точки, а k — коэффициент гомотетии.

Подставляя известные значения, получаем:
\((x_c; y_c) = \left(\frac{2 + (-\frac{1}{3})\cdot 6}{1 + (-\frac{1}{3})}; \frac{1 + (-\frac{1}{3})\cdot (-3)}{1 + (-\frac{1}{3})}\right) = (5; -2)\)

Таким образом, центр гомотетии, при которой точка N(2; 1) переходит в точку M(6; -3) с коэффициентом -\(\frac{1}{3}\), имеет координаты (5; -2).

12.Площадь треугольника CEF равна \(12 \text{см}^2\), так как AE : EC = 3 : 2, а площадь треугольника ABC равна \(75 \text{см}^2\).