ГДЗ по Геометрии 9 Класс Вопросы к параграфу 1 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

1. Какую полуокружность называют единичной?
2. Объясните, в каком случае говорят, что углу а соответствует точка М единичной полуокружности.
3. Что называют синусом угла а, где \(0^\circ \leq a \leq 180^\circ\)?
4. Что называют косинусом угла а, где \(0^\circ \leq a \leq 180^\circ\)?
5. Чему равен \(\sin 0^\circ\), \(\cos 0^\circ\), \(\sin 90^\circ\), \(\cos 90^\circ\), \(\sin 180^\circ\), \(\cos 180^\circ\)?
6. В каких пределах находятся значения \(\sin a\), если \(0^\circ \leq a \leq 180^\circ\)?
7. В каких пределах находятся значения \(\cos a\), если \(0^\circ \leq a \leq 180^\circ\)?
8. Каким числом, положительным или отрицательным, является синус острого угла? Синус тупого угла? Косинус острого угла? Косинус тупого угла?
9. Каким углом является угол а, если \(\cos a < 0\)? 10. Чему равен \(\sin (180^\circ - a)\), \(\cos (180^\circ - a)\)? 11. Как связаны между собой синус и косинус одного и того же угла? 12. Что называют тангенсом угла а, где \(0^\circ \leq a \leq 180^\circ\) и \(a \neq 90^\circ\)? 13. Что называют котангенсом угла а, где \(0^\circ < a < 180^\circ\)? 14. Почему \(\tan a\) не определён для \(a = 90^\circ\)? 15. Почему \(\cot a\) не определён для \(a = 0^\circ\) и \(a = 180^\circ\)? 16. Как называют функции \(f(a) = \sin a\), \(g(a) = \cos a\), \(h(a) = \tan a\) и \(p(a) = \cot a\)?

1. Единичная полуокружность — это полуокружность с радиусом 1.
2. Точке \(M\) единичной полуокружности соответствует угол \(\alpha\), если радиус-вектор точки \(M\) образует с положительным направлением оси абсцисс угол \(\alpha\).
3. Синусом угла \(\alpha\), где \(0^\circ \leq \alpha \leq 180^\circ\), называют ординату точки \(M\) на единичной полуокружности, соответствующей углу \(\alpha\).
4. Косинусом угла \(\alpha\), где \(0^\circ \leq \alpha \leq 180^\circ\), называют абсциссу точки \(M\) на единичной полуокружности, соответствующей углу \(\alpha\).
5. \(\sin 0^\circ = 0\), \(\cos 0^\circ = 1\), \(\sin 90^\circ = 1\), \(\cos 90^\circ = 0\), \(\sin 180^\circ = 0\), \(\cos 180^\circ = -1\).
6. Значения \(\sin \alpha\) находятся в пределах от 0 до 1.
7. Значения \(\cos \alpha\) находятся в пределах от -1 до 1.
8. Синус острого угла положителен, синус тупого угла положителен, косинус острого угла положителен, косинус тупого угла отрицателен.
9. Если \(\cos \alpha < 0\), угол \(\alpha\) тупой. 10. \(\sin (180^\circ - \alpha) = \sin \alpha\), \(\cos (180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha\). 11. \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\). 12. Тангенсом угла \(\alpha\), где \(0^\circ \leq \alpha \leq 180^\circ\) и \(\alpha \neq 90^\circ\), называют отношение \(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\). 13. Котангенсом угла \(\alpha\), где \(0^\circ < \alpha < 180^\circ\), называют отношение \(\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\). 14. \(\tan \alpha\) не определён для \(\alpha = 90^\circ\), так как \(\cos 90^\circ = 0\), деление на ноль невозможно. 15. \(\cot \alpha\) не определён для \(\alpha = 0^\circ\) и \(\alpha = 180^\circ\), так как \(\sin 0^\circ = 0\) и \(\sin 180^\circ = 0\), деление на ноль невозможно. 16. Функции \(f(\alpha) = \sin \alpha\), \(g(\alpha) = \cos \alpha\), \(h(\alpha) = \tan \alpha\), \(p(\alpha) = \cot \alpha\) называют тригонометрическими функциями угла \(\alpha\).

1. Единичной полуокружностью называют часть окружности, радиус которой равен 1, ограниченную диаметром. Это означает, что если взять окружность с центром в начале координат и радиусом, равным единице, то полуокружность — это половина этой окружности, лежащая, например, над осью абсцисс. Радиус в данном случае — это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на её границе, и его длина равна 1. Такая полуокружность часто используется в тригонометрии для определения значений тригонометрических функций, так как она позволяет связать углы с координатами точек на плоскости.

Единичная полуокружность удобна тем, что все точки на ней удовлетворяют уравнению \( x^2 + y^2 = 1 \), где \( x \) и \( y \) — координаты точки. Поскольку радиус равен 1, это уравнение описывает именно такую окружность. Полуокружность, ограниченная диаметром, включает все точки, где угол между радиус-вектором и осью абсцисс лежит в промежутке от \( 0^\circ \) до \( 180^\circ \). Этот угол и будет использоваться для определения тригонометрических функций.

Кроме того, единичная полуокружность служит геометрической основой для определения синуса и косинуса угла, так как координаты точек на ней напрямую связаны с этими функциями. Таким образом, единичная полуокружность — это не просто часть окружности, а ключевой инструмент для визуализации и вычисления тригонометрических значений.

2. Угол \( a \) соответствует точке \( M \) на единичной полуокружности, если радиус-вектор этой точки образует с положительным направлением оси абсцисс угол \( a \). Радиус-вектор — это вектор, исходящий из начала координат и направленный к точке \( M \) на полуокружности. Угол \( a \) измеряется от положительного направления оси \( x \) против часовой стрелки. Таким образом, каждой величине угла \( a \) от \( 0^\circ \) до \( 180^\circ \) соответствует одна точка \( M \) на полуокружности.

Это соответствие позволяет однозначно связать угол с координатами точки \( M \), что является основой для определения тригонометрических функций. Координаты точки \( M \) задаются двумя числами — абсциссой \( x \) и ординатой \( y \), которые зависят от угла \( a \). Именно эти координаты и определяют значения косинуса и синуса угла, соответственно. Таким образом, геометрическое представление угла через точку на единичной полуокружности помогает понять природу тригонометрических функций.

Кроме того, такое определение угла через радиус-вектор удобно для визуализации и анализа свойств тригонометрических функций, так как позволяет видеть, как меняются значения синуса и косинуса при изменении угла \( a \). Это важный шаг для понимания тригонометрии и её применения в различных областях математики и физики.

3. Синусом угла \( a \), где \( 0^\circ \leq a \leq 180^\circ \), называют ординату точки \( M \) на единичной полуокружности, соответствующей этому углу. Ордината — это координата точки по оси \( y \). Таким образом, значение синуса угла — это вертикальное расстояние от оси абсцисс до точки \( M \) на полуокружности. Поскольку радиус равен 1, значение синуса всегда лежит в пределах от 0 до 1 включительно для углов от \( 0^\circ \) до \( 180^\circ \).

Геометрически это означает, что при изменении угла \( a \) от \( 0^\circ \) до \( 90^\circ \) ордината точки \( M \) увеличивается от 0 до 1, а при дальнейшем увеличении угла от \( 90^\circ \) до \( 180^\circ \) ордината уменьшается обратно до 0. Таким образом, график функции синуса на этом промежутке имеет форму «горба», достигая максимума в \( 90^\circ \). Это отражает основные свойства синуса как функции угла.

Кроме того, такое определение синуса через ординату точки на единичной полуокружности позволяет легко вычислять значения синуса для различных углов, используя координаты точек, а также использовать синус в решении геометрических задач, связанных с прямоугольными треугольниками и круговыми движениями.

4. Косинусом угла \( a \), где \( 0^\circ \leq a \leq 180^\circ \), называют абсциссу точки \( M \) на единичной полуокружности, соответствующей углу \( a \). Абсцисса — это координата точки по оси \( x \). Значение косинуса угла — это горизонтальное расстояние от начала координат до точки \( M \) вдоль оси \( x \). Поскольку радиус равен 1, значение косинуса всегда лежит в пределах от -1 до 1 включительно на данном промежутке углов.

Геометрически при увеличении угла \( a \) от \( 0^\circ \) до \( 90^\circ \) абсцисса точки \( M \) уменьшается от 1 до 0, а при дальнейшем увеличении угла от \( 90^\circ \) до \( 180^\circ \) абсцисса становится отрицательной и уменьшается до -1. Таким образом, косинус меняет знак при переходе через \( 90^\circ \), что отражает его свойства как функции, изменяющейся от положительных к отрицательным значениям.

Такое определение косинуса через абсциссу удобно для понимания и вычисления значений косинуса, а также для анализа поведения функции на различных промежутках. Координаты точки \( M \) на единичной полуокружности позволяют связать углы с числовыми значениями косинуса, что важно для решения задач в геометрии, физике и других науках.

5. Значения тригонометрических функций в основных углах имеют конкретные числовые значения, которые легко запомнить и использовать. Для угла \( 0^\circ \) синус равен 0, а косинус равен 1, что соответствует точке \( (1, 0) \) на единичной полуокружности. Для угла \( 90^\circ \) синус достигает максимума 1, а косинус равен 0, что соответствует точке \( (0, 1) \). Для угла \( 180^\circ \) синус снова равен 0, а косинус достигает минимального значения -1, соответствующего точке \( (-1, 0) \).

Эти значения отражают расположение точек на единичной полуокружности и показывают, как меняются координаты при изменении угла. Они являются базовыми для построения графиков тригонометрических функций и служат опорой для вычисления значений функций при других углах. Знание этих значений важно для быстрого решения задач и упрощения вычислений.

Кроме того, эти основные углы и соответствующие им значения синуса и косинуса помогают понять закономерности и симметрии тригонометрических функций. Например, видно, что синус равен нулю на концах полуокружности, а косинус меняет знак при переходе через \( 90^\circ \), что важно для анализа функций и их свойств.

6. Значения функции \( \sin a \), где угол \( a \) лежит в диапазоне от \( 0^\circ \) до \( 180^\circ \), находятся в пределах от 0 до 1. Это связано с тем, что синус угла определяется как ордината точки на единичной полуокружности, и ордината не может быть меньше 0 или больше 1 на этом промежутке углов. При \( a = 0^\circ \) синус равен 0, а при \( a = 90^\circ \) достигает максимума 1, после чего при \( a = 180^\circ \) снова возвращается к 0.

Такое поведение функции синуса отражает её геометрическую природу и характер изменения значений на интервале \( [0^\circ, 180^\circ] \). Значения синуса сначала возрастают, достигают максимума, а затем убывают, что можно визуализировать как волну на графике. Это важно для понимания периодичности и амплитуды тригонометрических функций.

Кроме того, знание диапазона значений синуса позволяет ограничить возможные решения тригонометрических уравнений и не допускать ошибок при вычислениях. Это фундаментальное свойство используется во многих приложениях математики и физики, где важна точность и корректность значений функций.

7. Значения функции \( \cos a \), где угол \( a \) находится в пределах от \( 0^\circ \) до \( 180^\circ \), варьируются от -1 до 1. Это связано с тем, что косинус угла определяется как абсцисса точки на единичной полуокружности, и эта абсцисса может принимать как положительные, так и отрицательные значения в зависимости от угла. При \( a = 0^\circ \) косинус равен 1, при \( a = 90^\circ \) он равен 0, а при \( a = 180^\circ \) достигает значения -1.

Таким образом, косинус меняет знак на промежутке \( [0^\circ, 180^\circ] \): он положителен для углов от \( 0^\circ \) до \( 90^\circ \) и отрицателен для углов от \( 90^\circ \) до \( 180^\circ \). Это отражает геометрическую симметрию точки \( M \) на полуокружности относительно оси ординат. Такое изменение знака важно учитывать при решении тригонометрических уравнений и анализе функций.

Кроме того, диапазон значений косинуса позволяет понять, как функция ведёт себя на данном промежутке и какие значения она может принимать. Это знание необходимо для построения графиков и анализа свойств косинуса, а также для применения в различных математических и физических задачах.

8. Синус острого угла всегда положителен, так как ордината точки \( M \) на единичной полуокружности в интервале \( 0^\circ < a < 90^\circ \) лежит выше оси абсцисс. Аналогично, синус тупого угла, то есть угла в интервале \( 90^\circ < a < 180^\circ \), также положителен, поскольку точка \( M \) всё ещё находится над осью \( x \). Это означает, что значение синуса для любого угла от 0 до 180 градусов неотрицательно и достигает максимума при \( 90^\circ \).

Косинус острого угла положителен, так как абсцисса точки \( M \) в интервале \( 0^\circ < a < 90^\circ \) положительна, то есть точка находится справа от начала координат. Однако косинус тупого угла отрицателен, поскольку при \( 90^\circ < a < 180^\circ \) точка \( M \) лежит слева от оси \( y \), и её абсцисса отрицательна. Это важное различие позволяет определить тип угла по знаку косинуса.

Таким образом, знак тригонометрических функций синуса и косинуса помогает классифицировать углы на острые и тупые, а также понять их геометрическое расположение на единичной полуокружности. Это свойство активно используется при решении различных задач и анализе функций.

9. Если \( \cos a < 0 \), то угол \( a \) является тупым. Это утверждение основано на геометрическом положении точки \( M \) на единичной полуокружности. Поскольку косинус угла равен абсциссе точки \( M \), отрицательное значение косинуса означает, что точка находится слева от оси \( y \), то есть угол \( a \) лежит в интервале \( 90^\circ < a \leq 180^\circ \).

Этот критерий позволяет быстро определить, является ли угол тупым, без необходимости измерять угол напрямую. Знак косинуса служит индикатором положения угла относительно оси абсцисс. Такой подход широко используется в тригонометрии и геометрии для классификации углов и решения задач.

Кроме того, знание этой зависимости помогает при анализе тригонометрических функций и их графиков, а также при решении уравнений и неравенств, связанных с углами и их тригонометрическими значениями.

10. Рассмотрим угол \( a \), где \( 0^\circ \leq a \leq 180^\circ \). Точке \( M \) на единичной полуокружности соответствует угол \( a \), и радиус-вектор точки \( M \) образует с положительным направлением оси абсцисс угол \( a \). Координаты точки \( M \) равны \( (\cos a, \sin a) \), что следует из определения косинуса и синуса через координаты на единичной полуокружности.

Теперь рассмотрим угол \( 180^\circ — a \), который также лежит в пределах от \( 0^\circ \) до \( 180^\circ \). Точка, соответствующая этому углу, имеет координаты \( (\cos (180^\circ — a), \sin (180^\circ — a)) \). Геометрически угол \( 180^\circ — a \) получается отражением угла \( a \) относительно оси ординат (оси \( y \)). Это значит, что ордината точки при отражении сохраняется, а абсцисса меняет знак на противоположный.

Следовательно, ордината точки для угла \( 180^\circ — a \) равна ординате точки для угла \( a \), то есть

\( \sin (180^\circ — a) = \sin a \),

а абсцисса для угла \( 180^\circ — a \) равна отрицательной абсциссе для угла \( a \), то есть

\( \cos (180^\circ — a) = -\cos a \).

Эти равенства отражают симметрию тригонометрических функций и позволяют упростить вычисления и преобразования при работе с углами, лежащими в пределах полуокружности. Они широко применяются в решении тригонометрических уравнений и построении графиков функций.

11. Синус и косинус одного и того же угла связаны важным равенством, которое называется основным тригонометрическим тождеством:

\( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \).

Это тождество отражает геометрическую связь между ординатой и абсциссой точки на единичной полуокружности. Поскольку точка \( M \) лежит на окружности радиуса 1, её координаты удовлетворяют уравнению окружности:

\( x^2 + y^2 = 1 \),

где \( x = \cos a \), а \( y = \sin a \). Подставляя эти значения, получаем указанное тождество. Оно показывает, что сумма квадратов синуса и косинуса любого угла всегда равна единице, что является фундаментальным свойством тригонометрических функций.

Это тождество служит основой для многих преобразований и доказательств в тригонометрии, позволяет выражать одну функцию через другую и упрощать сложные выражения. Оно также помогает проверить корректность вычислений и служит опорой при решении уравнений и неравенств, связанных с тригонометрическими функциями.

12. Тангенсом угла \( a \), где \( 0^\circ \leq a \leq 180^\circ \) и \( a \neq 90^\circ \), называют отношение синуса к косинусу:

\( \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} \).

Это определение следует из геометрического смысла тангенса как отношения противолежащего катета к прилежащему в прямоугольном треугольнике, а также из координат точки \( M \) на единичной полуокружности. Тангенс показывает, насколько «круто» расположен радиус-вектор относительно оси абсцисс.

Важно отметить, что тангенс не определён для угла \( 90^\circ \), так как в этом случае косинус равен нулю, а деление на ноль невозможно. Графически это соответствует вертикальной касательной к графику тангенса, где функция стремится к бесконечности.

Тангенс широко используется в решении тригонометрических задач, в геометрии и физике, особенно при анализе наклонов, углов наклона и углов поворота.

13. Котангенсом угла \( a \), где \( 0^\circ < a < 180^\circ \), называют отношение косинуса к синусу:

\( \cot a = \frac{\cos a}{\sin a} \).

Котангенс является обратной функцией тангенса и отражает отношение прилежащего катета к противолежащему в прямоугольном треугольнике. На единичной полуокружности он выражается через координаты точки \( M \), аналогично тангенсу.

Котангенс не определён для углов \( 0^\circ \) и \( 180^\circ \), поскольку в этих точках синус равен нулю, и деление на ноль невозможно. Это соответствует положению точки \( M \) на оси абсцисс, где ордината равна нулю.

Функция котангенса используется в различных областях математики и физики, особенно при решении тригонометрических уравнений и анализе периодических процессов.

14. Тангенс угла \( a \) не определён при \( a = 90^\circ \), поскольку в этой точке косинус равен нулю: \( \cos 90^\circ = 0 \). Деление на ноль в определении тангенса

\( \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} \)

невозможно, поэтому функция тангенса имеет разрыв в этой точке. На графике тангенса при \( a \to 90^\circ \) слева функция стремится к плюс бесконечности, а справа — к минус бесконечности, что отражает вертикальную асимптоту.

Это свойство важно учитывать при решении тригонометрических задач и при анализе поведения функции тангенса. Разрывы и асимптоты влияют на область определения и график функции, а также на методы решения уравнений с тангенсом.

15. Котангенс угла \( a \) не определён при \( a = 0^\circ \) и \( a = 180^\circ \), так как в этих точках синус равен нулю: \( \sin 0^\circ = 0 \) и \( \sin 180^\circ = 0 \). В определении котангенса

\( \cot a = \frac{\cos a}{\sin a} \)

деление на ноль невозможно, что приводит к разрывам функции в этих точках. На графике котангенса вблизи этих углов наблюдаются вертикальные асимптоты.

Это ограничение области определения котангенса необходимо учитывать при работе с функцией, чтобы избежать ошибок в вычислениях и анализе. Знание точек разрыва помогает правильно строить графики и решать уравнения с котангенсом.

16. Функции \( f(a) = \sin a \), \( g(a) = \cos a \), \( h(a) = \tan a \) и \( p(a) = \cot a \) называют тригонометрическими функциями угла \( a \). Эти функции отражают различные отношения между сторонами и углами в треугольниках, а также координаты точек на единичной полуокружности. Каждая из них имеет свои свойства, области определения и особенности поведения.

Синус и косинус являются базовыми функциями, которые задают координаты точки на единичной окружности. Тангенс и котангенс выражаются через синус и косинус и имеют более сложное поведение, включая точки разрыва. Вместе эти функции образуют основу тригонометрии и широко применяются в математике, физике, инженерии и других науках.

Понимание и умение работать с этими функциями позволяет решать широкий спектр задач, связанных с углами, периодическими процессами, волнами, колебаниями и многими другими явлениями, что делает тригонометрию важнейшей частью математического образования.