ГДЗ по Геометрии 9 Класс Вопросы к параграфу 11 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

1. Поясните, что называют углом между прямой и положительным направлением оси абсцисс?
2. Чему считают равным угол между прямой, параллельной оси абсцисс или совпадающей с ней, и положительным направлением оси абсцисс?
3. Что называют угловым коэффициентом прямой?
4. Как связаны угловой коэффициент прямой и угол между прямой и положительным направлением оси абсцисс?
5. Сформулируйте необходимое и достаточное условие параллельности двух невертикальных прямых на координатной плоскости.

1. Угол между прямой и положительным направлением оси абсцисс — это угол, который образует прямая с осью абсцисс, измеряемый от положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки.
2. Угол равен 0°, если прямая параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.
3. Угловой коэффициент прямой — это тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс, обозначается как \(k = \tan \alpha\).
4. Угловой коэффициент \(k\) связан с углом \(\alpha\) формулой \(k = \tan \alpha\).
5. Необходимое и достаточное условие параллельности двух невертикальных прямых: их угловые коэффициенты равны, то есть \(k_1 = k_2\).

1. Угол между прямой и положительным направлением оси абсцисс — это величина, которая показывает, под каким наклоном прямая расположена относительно горизонтальной оси координат. Этот угол измеряется от положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки, то есть если представить, что ось абсцисс направлена вправо, то угол считается в сторону вверх. Такой угол позволяет определить направление прямой на плоскости и служит основой для дальнейших вычислений и анализа положения линии. Он всегда лежит в пределах от 0° до 180°, так как углы больше 180° считаются эквивалентными углам в этом диапазоне с точки зрения направления.

2. Если прямая параллельна оси абсцисс или совпадает с ней, то угол между этой прямой и положительным направлением оси абсцисс равен 0°. Это означает, что линия не отклоняется ни вверх, ни вниз, а идет строго горизонтально. Такое положение удобно рассматривать как базовое или нулевое, поскольку оно задаёт отправную точку для измерения углов наклона других прямых. Если же прямая направлена в противоположную сторону (влево), угол будет равен 180°, что тоже соответствует горизонтальному направлению, но в обратную сторону.

3. Угловой коэффициент прямой — это числовая характеристика наклона линии, которая определяется как тангенс угла между прямой и положительным направлением оси абсцисс. Обозначается он буквой \(k\) и вычисляется по формуле \(k = \tan \alpha\), где \(\alpha\) — угол наклона. Угловой коэффициент показывает, насколько резко прямая поднимается или опускается при движении слева направо. Если \(k > 0\), прямая возрастает, если \(k < 0\), прямая убывает, а если \(k = 0\), линия горизонтальна.

4. Связь между угловым коэффициентом и углом наклона выражается через тригонометрическую функцию тангенса. Формула \(k = \tan \alpha\) означает, что зная угол наклона \(\alpha\), можно найти угловой коэффициент, а зная \(k\), можно вычислить угол \(\alpha = \arctan k\). Это связь позволяет легко переходить от геометрического представления прямой к её алгебраическому описанию и обратно. Таким образом, угловой коэффициент является удобным параметром для анализа и сравнения различных прямых на плоскости.

5. Для двух невертикальных прямых, заданных угловыми коэффициентами \(k_1\) и \(k_2\), необходимое и достаточное условие их параллельности — равенство этих коэффициентов: \(k_1 = k_2\). Это означает, что обе прямые имеют одинаковый угол наклона и, следовательно, не пересекаются, оставаясь параллельными. Если угловые коэффициенты отличаются, то прямые пересекаются под некоторым углом. Вертикальные прямые, у которых угловой коэффициент не определён, рассматриваются отдельно, но для всех остальных это условие является основным критерием параллельности.