ГДЗ по Геометрии 9 Класс Вопросы к параграфу 15 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

1. Что называют произведением ненулевого вектора \(\vec{a}\) на число \(k\), отличное от нуля?
2. Чему равно произведение \(k\vec{a}\), если \(k=0\) или \(\vec{a}=\vec{0}\)?
3. Что можно сказать о ненулевых векторах \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), если \(\vec{b} = k\vec{a}\), где \(k\) — некоторое число?
4. Известно, что векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны, причём \(\vec{a} \neq \vec{0}\). Как можно выразить вектор \(\vec{b}\) через вектор \(\vec{a}\)?
5. Вектор \(\vec{a}\) имеет координаты \((a_1; a_2)\). Чему равны координаты вектора \(k\vec{a}\)?
6. Что можно сказать о векторах, координаты которых равны \((a_1; a_2)\) и \((ka_1; ka_2)\)?
7. Как связаны между собой соответствующие координаты коллинеарных векторов \(\vec{a}(a_1; a_2)\) и \(\vec{b}(b_1; b_2)\)?
8. Запишите сочетательное и распределительные свойства умножения вектора на число.

1. Произведением вектора \(\vec{a}\) на число \(k \neq 0\) называют вектор, направление которого совпадает с \(\vec{a}\), а длина равна произведению длины \(\vec{a}\) на \(|k|\).
2. Если \(k=0\) или \(\vec{a}=\vec{0}\), то \(k\vec{a} = \vec{0}\).
3. Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны, если \(\vec{b} = k\vec{a}\).
4. \(\vec{b} = k\vec{a}\), где \(k\) — скаляр.
5. Координаты вектора \(k\vec{a}\) равны \((ka_1; ka_2)\).
6. Векторы с координатами \((a_1; a_2)\) и \((ka_1; ka_2)\) коллинеарны.
7. Соответствующие координаты связаны пропорционально: \(\frac{b_1}{a_1} = \frac{b_2}{a_2} = k\).
8. Сочетательное свойство: \(k(m\vec{a}) = (km)\vec{a}\).
Распределительные свойства:
\(k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}\),
\((k + m)\vec{a} = k\vec{a} + m\vec{a}\).

1. Произведение ненулевого вектора \(\vec{a}\) на число \(k\), где \(k \neq 0\), — это новый вектор, который получается путём масштабирования исходного вектора. При этом направление нового вектора совпадает с направлением \(\vec{a}\), если \(k > 0\), и противоположно направлению \(\vec{a}\), если \(k < 0\). Длина нового вектора равна произведению длины исходного вектора на абсолютное значение числа \(k\). Таким образом, умножение вектора на число изменяет его длину, но сохраняет коллинеарность с исходным вектором.

2. Если число \(k = 0\), то произведение \(k\vec{a}\) всегда даёт нулевой вектор \(\vec{0}\), независимо от того, какой вектор \(\vec{a}\) был. Аналогично, если вектор \(\vec{a} = \vec{0}\), то умножение на любое число \(k\) также даёт нулевой вектор. Это связано с тем, что нулевой вектор не имеет направления и длины, поэтому масштабирование его не меняет.

3. Если два вектора \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) связаны формулой \(\vec{b} = k\vec{a}\), где \(k\) — некоторое число, то такие векторы называются коллинеарными. Коллинеарность означает, что один вектор можно получить из другого путём умножения на число, то есть они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. При этом знак числа \(k\) определяет направление вектора \(\vec{b}\) относительно \(\vec{a}\).

4. Если векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны и \(\vec{a} \neq \vec{0}\), то вектор \(\vec{b}\) можно выразить через \(\vec{a}\) с помощью скаляра \(k\): \(\vec{b} = k\vec{a}\). Здесь \(k\) — число, которое показывает, во сколько раз и в каком направлении изменён вектор \(\vec{a}\) для получения \(\vec{b}\).

5. Если вектор \(\vec{a}\) задан координатами \((a_1; a_2)\), то произведение этого вектора на число \(k\) даёт вектор с координатами \((ka_1; ka_2)\). Это значит, что каждую координату исходного вектора нужно умножить на \(k\), чтобы получить координаты нового вектора. Такая операция сохраняет направление коллинеарных векторов и изменяет их длину пропорционально числу \(k\).

6. Векторы с координатами \((a_1; a_2)\) и \((ka_1; ka_2)\) коллинеарны, поскольку второй вектор получается умножением первого на число \(k\). Это означает, что они лежат на одной прямой или на параллельных прямых и отличаются только длиной и, возможно, направлением (если \(k < 0\)).

7. Для коллинеарных векторов \(\vec{a}(a_1; a_2)\) и \(\vec{b}(b_1; b_2)\) соответствующие координаты связаны пропорционально, то есть \(\frac{b_1}{a_1} = \frac{b_2}{a_2} = k\). Это равенство показывает, что существует число \(k\), при умножении на которое координаты вектора \(\vec{a}\) переходят в координаты вектора \(\vec{b}\), подтверждая коллинеарность.

8. Умножение вектора на число обладает следующими свойствами:

— Сочетательное свойство: \(k(m\vec{a}) = (km)\vec{a}\). Это означает, что умножение вектора на произведение чисел эквивалентно последовательному умножению на каждое число.

— Распределительные свойства:
\(k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}\), что показывает, что умножение на число распределяется по сумме векторов, и
\((k + m)\vec{a} = k\vec{a} + m\vec{a}\), что означает распределение суммы чисел по умножению на вектор.

Эти свойства обеспечивают согласованность операций умножения векторов на числа с обычными арифметическими правилами.