ГДЗ по Геометрии 9 Класс Вопросы к параграфу 16 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

1. Опишите, как можно построить угол, величина которого равна углу между двумя ненулевыми и несонаправленными векторами.
2. Чему равен угол между двумя сонаправленными векторами?
3. Чему равен угол между векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \), если хотя бы один из них нулевой?
4. Как обозначают угол между векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \)?
5. В каких пределах измеряют угол между любыми векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \)?
6. Какие векторы называют перпендикулярными?
7. Что называют скалярным произведением двух векторов?
8. Что называют скалярным квадратом вектора?
9. Чему равен скалярный квадрат вектора?
10. Сформулируйте условие перпендикулярности двух ненулевых векторов.
11. Что следует из равенства \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \), если \( \vec{a} \neq \vec{0} \) и \( \vec{b} \neq \vec{0} \)?
12. Как найти скалярное произведение векторов, если известны их координаты?
13. Как найти косинус угла между двумя ненулевыми векторами, если известны их координаты?
14. Запишите свойства скалярного произведения векторов.

Краткий ответ:

1. Построить угол между векторами можно, расположив их так, чтобы начало одного совпало с началом другого, угол между ними и будет искомым.
2. Угол равен 0°.
3. Угол не определён или равен 0°, если один вектор нулевой.
4. Угол обозначают \( \theta \) или \( \angle (\vec{a}, \vec{b}) \).
5. Угол измеряют от 0° до 180°.
6. Векторы, у которых угол 90°, называют перпендикулярными.
7. Скалярным произведением называют число \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta \).
8. Скалярным квадратом вектора называют скалярное произведение вектора самого на себя.
9. Скалярный квадрат равен \( \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 \).
10. Векторы перпендикулярны, если \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \).
11. Если \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \), а \( \vec{a} \neq \vec{0} \), \( \vec{b} \neq \vec{0} \), то векторы перпендикулярны.
12. Скалярное произведение по координатам: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z \).
13. Косинус угла: \( \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z}{\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}} \).
14. Свойства скалярного произведения:

1.	Коммутативность: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} \)
2.	Дистрибутивность: \( \vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} \)
3.	Умножение на число: \( (k \vec{a}) \cdot \vec{b} = k (\vec{a} \cdot \vec{b}) \)
4.	Скалярный квадрат неотрицателен: \( \vec{a} \cdot \vec{a} \geq 0 \)
5.	Равенство нулю скалярного квадрата только для нулевого вектора: \( \vec{a} \cdot \vec{a} = 0 \iff \vec{a} = \vec{0} \)

Подробный ответ:

1. Чтобы построить угол, величина которого равна углу между двумя ненулевыми и несонаправленными векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \), нужно из точки начала векторов построить лучи, направленные по векторам \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \). Угол между этими лучами и будет искомым углом между векторами. При этом угол измеряется по меньшей дуге между направлениями векторов и лежит в пределах от 0° до 180°.

2. Угол между двумя сонаправленными векторами равен 0°, поскольку они направлены в одну сторону, и их направления совпадают.

3. Если хотя бы один из векторов \( \vec{a} \) или \( \vec{b} \) является нулевым вектором, то угол между ними не определён, так как нулевой вектор не имеет направления.

4. Угол между векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) обозначают как \( \angle(\vec{a}, \vec{b}) \) или просто \( \varphi \).

5. Угол между любыми векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) измеряют в пределах от 0° до 180°, то есть \( 0^\circ \leq \angle(\vec{a}, \vec{b}) \leq 180^\circ \).

6. Векторы называют перпендикулярными, если угол между ними равен 90°, то есть они образуют прямой угол.

7. Скалярным произведением двух векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) называют число, равное произведению их длин на косинус угла между ними: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \varphi \), где \( \varphi = \angle(\vec{a}, \vec{b}) \).

8. Скалярным квадратом вектора \( \vec{a} \) называют скалярное произведение этого вектора самого на себя: \( \vec{a} \cdot \vec{a} \).

9. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: \( \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 \).

10. Условие перпендикулярности двух ненулевых векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) формулируется так: векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, то есть \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \).

11. Из равенства \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \), при условии что \( \vec{a} \neq \vec{0} \) и \( \vec{b} \neq \vec{0} \), следует, что векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) перпендикулярны.

12. Скалярное произведение векторов \( \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) \) и \( \vec{b} = (b_1, b_2, b_3) \) в координатах находится по формуле: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \).

13. Косинус угла между двумя ненулевыми векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \), заданными координатами, вычисляют по формуле:
\( \cos \varphi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \cdot \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}} \).

14. Свойства скалярного произведения векторов:

1.	Коммутативность: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} \)
2.	Дистрибутивность относительно сложения: \( \vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} \)
3.	Умножение на число: \( (k \vec{a}) \cdot \vec{b} = k (\vec{a} \cdot \vec{b}) \), где \( k \in \mathbb{R} \)
4.	Скалярный квадрат неотрицателен: \( \vec{a} \cdot \vec{a} \geq 0 \), причём \( \vec{a} \cdot \vec{a} = 0 \) тогда и только тогда, когда \( \vec{a} = \vec{0} \)

Оцени решение