ГДЗ по Геометрии 9 Класс Вопросы к параграфу 2 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
1. Сформулируйте теорему косинусов.
2. Остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник со сторонами \(a\), \(b\) и \(c\), где \(a\) — его наибольшая сторона, если:
1) \(a^2 < b^2 + c^2\);
2) \(a^2 > b^2 + c^2\);
3) \(a^2 = b^2 + c^2\)?
3. Как связаны между собой диагонали и стороны параллелограмма?
1. Теорема косинусов: для треугольника со сторонами \(a\), \(b\), \(c\) и углом \(\gamma\) напротив стороны \(a\) верно
\(a^2 = b^2 + c^2 — 2bc \cdot \cos \gamma\).
2. Классификация треугольника по сторонам:
| Условие | Тип треугольника |
|---|---|
| \(a^2 < b^2 + c^2\) | остроугольный |
| \(a^2 > b^2 + c^2\) | тупоугольный |
| \(a^2 = b^2 + c^2\) | прямоугольный |
3. Связь диагоналей и сторон параллелограмма:
Если стороны параллелограмма \(a\) и \(b\), а диагонали \(d_1\) и \(d_2\), то
\(d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)\).
1. Теорема косинусов является обобщением теоремы Пифагора и позволяет вычислять длину любой стороны треугольника, если известны две другие стороны и угол между ними. Для треугольника со сторонами \(a\), \(b\), \(c\) и углом \(\gamma\), лежащим напротив стороны \(a\), формула записывается как \(a^2 = b^2 + c^2 — 2bc \cdot \cos \gamma\). Эта формула показывает, что квадрат стороны \(a\) равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Если угол \(\gamma\) равен 90 градусам, то \(\cos \gamma = 0\), и формула превращается в теорему Пифагора \(a^2 = b^2 + c^2\).
2. Классификация треугольника по сторонам основана на сравнении квадрата наибольшей стороны \(a\) с суммой квадратов двух других сторон \(b\) и \(c\). Если \(a^2 < b^2 + c^2\), то угол напротив стороны \(a\) острый, и треугольник называется остроугольным. Если \(a^2 > b^2 + c^2\), то угол напротив стороны \(a\) тупой, и треугольник — тупоугольный. Если \(a^2 = b^2 + c^2\), то угол ровно 90 градусов, и треугольник прямоугольный. Эти условия вытекают из теоремы косинусов, где знак косинуса определяет вид угла: положительный — острый, отрицательный — тупой, ноль — прямой.
| Условие | Тип треугольника |
|---|---|
| \(a^2 < b^2 + c^2\) | остроугольный |
| \(a^2 > b^2 + c^2\) | тупоугольный |
| \(a^2 = b^2 + c^2\) | прямоугольный |
3. Связь между диагоналями и сторонами параллелограмма выражается формулой \(d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)\), где \(a\) и \(b\) — длины сторон, а \(d_1\) и \(d_2\) — длины диагоналей. Эта формула показывает, что сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов сторон. Она получается из разложения векторов сторон параллелограмма и учитывает, что диагонали равны сумме и разности векторов сторон. Таким образом, эта связь помогает вычислять длины диагоналей, если известны стороны, и наоборот, что важно при решении задач на параллелограммы и их свойства.
