ГДЗ по Геометрии 9 Класс Вопросы к параграфу 20 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

1. В каком случае говорят, что точка \(X_1\) является образом точки \(X\) при гомотетии с центром \(O\) и коэффициентом \(k\)?
Говорят, что точка \(X_1\) является образом точки \(X\) при гомотетии с центром \(O\) и коэффициентом \(k\), если вектор \(\overrightarrow{OX_1} = k \cdot \overrightarrow{OX}\).

2. Опишите преобразование фигуры \(F\), которое называют гомотетией с центром \(O\) и коэффициентом \(k\).
Гомотетией с центром \(O\) и коэффициентом \(k\) называют преобразование, при котором каждой точке \(X\) фигуры \(F\) ставится в соответствие точка \(X_1\), такая что \(\overrightarrow{OX_1} = k \cdot \overrightarrow{OX}\).

3. Как изменяется расстояние между точками при гомотетии с коэффициентом \(k\)?
Расстояние между точками при гомотетии с коэффициентом \(k\) изменяется в \( |k| \) раз.

4. Сформулируйте свойства гомотетии.
— Гомотетия сохраняет форму фигур.
— Гомотетия сохраняет углы.
— Гомотетия изменяет длины отрезков в \( |k| \) раз.
— Гомотетия сохраняет параллельность прямых.

5. Какие фигуры называют подобными?
Фигуры называют подобными, если одна из них может быть получена из другой с помощью гомотетии (или композиции гомотетии и параллельного переноса).

6. Чему равно отношение площадей подобных многоугольников?
Отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия, то есть \(k^2\).

1. Точка \(X_1\) является образом точки \(X\), если \(\overrightarrow{OX_1} = k \cdot \overrightarrow{OX}\).

2. Гомотетия с центром \(O\) и коэффициентом \(k\) – преобразование, при котором \(X \to X_1\), где \(\overrightarrow{OX_1} = k \cdot \overrightarrow{OX}\).

3. Расстояния изменяются в \( |k| \) раз.

4. Свойства гомотетии: сохраняет форму, углы, параллельность, длины изменяются в \( |k| \) раз.

5. Подобные фигуры – те, которые связаны гомотетией (или её комбинацией с параллельным переносом).

6. Отношение площадей подобных многоугольников равно \(k^2\).

1. Говорят, что точка \(X_1\) является образом точки \(X\) при гомотетии с центром \(O\) и коэффициентом \(k\), если выполняется равенство векторов \(\overrightarrow{OX_1} = k \cdot \overrightarrow{OX}\). Это означает, что вектор из центра гомотетии \(O\) к точке \(X_1\) получается умножением вектора из \(O\) к точке \(X\) на число \(k\). Таким образом, точка \(X_1\) лежит на луче, исходящем из \(O\) и проходящем через \(X\), и расстояние от \(O\) до \(X_1\) равно модулю \(k\), умноженному на расстояние от \(O\) до \(X\).

2. Гомотетией с центром \(O\) и коэффициентом \(k\) называют преобразование, при котором каждой точке \(X\) фигуры \(F\) ставится в соответствие точка \(X_1\), удовлетворяющая условию \(\overrightarrow{OX_1} = k \cdot \overrightarrow{OX}\). Это преобразование изменяет положение каждой точки фигуры, растягивая или сжимая ее относительно точки \(O\) в \( |k| \) раз, при этом направление вектора сохраняется, если \(k > 0\), и меняется на противоположное, если \(k < 0\).

3. При гомотетии с коэффициентом \(k\) расстояние между любыми двумя точками изменяется в \( |k| \) раз. Если \(X\) и \(Y\) — две точки, а \(X_1\) и \(Y_1\) — их образы при гомотетии, то длина отрезка \(X_1Y_1\) равна \( |k| \cdot XY \), где \(XY\) — длина отрезка между исходными точками.

4. Свойства гомотетии заключаются в следующем:
— Гомотетия сохраняет форму фигур, то есть фигура и ее образ подобны.
— Гомотетия сохраняет углы между соответствующими отрезками.
— Гомотетия изменяет длины всех отрезков в \( |k| \) раз.
— Гомотетия сохраняет параллельность прямых, то есть образы параллельных прямых также параллельны.

5. Фигуры называют подобными, если одну из них можно получить из другой с помощью гомотетии, либо композиции гомотетии и параллельного переноса. Это означает, что подобные фигуры имеют одинаковую форму, но могут отличаться размерами, причем все соответствующие углы равны, а стороны пропорциональны.

6. Отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия. Если коэффициент подобия равен \(k\), то отношение площадей будет равно \(k^{2}\). Это следует из того, что площадь — величина двумерная, и при масштабировании линейных размеров в \(k\) раз площадь изменяется в \(k^{2}\) раз.