ГДЗ по Геометрии 9 Класс Вопросы к параграфу 3 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

1. Как найти хорду окружности, если известны диаметр окружности и вписанный угол, опирающийся на эту хорду?
2. Сформулируйте теорему синусов.
3. Как найти радиус окружности, описанной около треугольника со стороной \(a\) и противолежащим этой стороне углом \(\alpha\)?

1. Хорда \(c = d \cdot \sin \alpha\), где \(d\) — диаметр, \(\alpha\) — вписанный угол, опирающийся на хорду.
2. Теорема синусов: \(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R\), где \(a, b, c\) — стороны треугольника, \(\alpha, \beta, \gamma\) — противолежащие углы, \(R\) — радиус описанной окружности.
3. Радиус описанной окружности \(R = \frac{a}{2 \sin \alpha}\), где \(a\) — сторона треугольника, \(\alpha\) — угол, противолежащий стороне \(a\).

1. Хорда окружности — это отрезок, соединяющий две точки на окружности. Если известен диаметр окружности \(d\) и вписанный угол \(\alpha\), который опирается на эту хорду, то длину хорды можно найти через синус этого угла. Вписанный угол, опирающийся на хорду, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же хорду. Диаметр окружности — это длина самой большой хорды. Используя тригонометрию, длина хорды \(c\) выражается как произведение диаметра на синус угла \(\alpha\), то есть \(c = d \cdot \sin \alpha\). Это связано с тем, что если провести радиусы к концам хорды, то получится равнобедренный треугольник, в котором основание — хорда, а угол при основании равен \(\alpha\).

2. Теорема синусов — важное соотношение в треугольнике, связывающее длины сторон и синусы противолежащих углов. Она утверждает, что отношение длины стороны к синусу угла, лежащего напротив этой стороны, одинаково для всех трёх сторон треугольника. Это отношение равно удвоенному радиусу описанной окружности \(R\). Формула теоремы синусов записывается так: \(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R\), где \(a, b, c\) — стороны треугольника, а \(\alpha, \beta, \gamma\) — углы, противоположные этим сторонам соответственно. Теорема используется для решения многих задач, связанных с треугольниками, например, при вычислении неизвестных сторон или углов.

3. Радиус описанной окружности \(R\) — это радиус окружности, проходящей через все вершины треугольника. Если известна сторона \(a\) и угол \(\alpha\), лежащий напротив этой стороны, то радиус описанной окружности можно найти по формуле \(R = \frac{a}{2 \sin \alpha}\). Эта формула вытекает из теоремы синусов, так как \(2R = \frac{a}{\sin \alpha}\), откуда \(R = \frac{a}{2 \sin \alpha}\). Таким образом, зная одну сторону и противолежащий ей угол, можно определить радиус окружности, в которую вписан треугольник. Это важно для задач геометрии, связанных с построением и анализом треугольников и окружностей.