ГДЗ по Геометрии 9 Класс Вопросы к параграфу 4 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Что значит решить треугольник?

Решить треугольник значит найти все его стороны и углы, используя известные данные и формулы, например:

1) Закон косинусов: \(c^2 = a^2 + b^2 — 2ab \cdot \cos \gamma\)
2) Закон синусов: \(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}\)
3) Сумма углов треугольника: \(\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ\)

Это позволяет полностью определить треугольник.

Решить треугольник означает определить все его стороны и углы, если известна часть данных. Это важно, так как для многих задач в геометрии и тригонометрии нужно полностью знать параметры треугольника. Обычно для решения используют законы синусов и косинусов, а также свойство, что сумма углов треугольника равна 180 градусам. Если известны, например, две стороны и угол между ними, можно найти третью сторону по закону косинусов: \(c^{2} = a^{2} + b^{2} — 2ab \cdot \cos \gamma\). После этого вычисляют оставшиеся углы.

Закон синусов помогает, когда известен один угол и две стороны, или два угла и одна сторона. Он записывается как \(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}\). С его помощью можно найти неизвестные стороны или углы, используя пропорции. Например, если известны угол \(\alpha\) и стороны \(a\) и \(b\), то угол \(\beta\) находится из равенства \(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}\). После вычисления углов можно проверить их сумму, которая должна равняться 180 градусам, то есть \(\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ\).

Таким образом, решение треугольника — это процесс последовательного вычисления всех его элементов с помощью известных формул и данных. В результате получается полный набор параметров, позволяющий понять форму и размеры треугольника. Это основа для решения более сложных задач, связанных с построением, измерениями и анализом геометрических фигур.