ГДЗ по Геометрии 9 Класс Вопросы к параграфу 5 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

1. Как можно найти площадь треугольника, если известны две его стороны и угол между ними?
2. Запишите формулу Герона для вычисления площади треугольника.
3. Как можно найти площадь треугольника, если известны три его стороны и радиус описанной окружности?
4. Как можно найти радиус окружности, описанной около треугольника, если известны стороны треугольника и его площадь?
5. Как можно найти площадь треугольника, если известны его полупериметр и радиус вписанной окружности?
6. Как можно найти радиус окружности, вписанной в треугольник, если известны площадь треугольника и его стороны?
7. Чему равна площадь многоугольника, описанного около окружности?

1. Площадь треугольника \(S = \frac{1}{2}ab \sin C\), где \(a\) и \(b\) — стороны, \(C\) — угол между ними.
2. Формула Герона: \(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\), где \(p = \frac{a+b+c}{2}\) — полупериметр.
3. Площадь треугольника \(S = \frac{abc}{4R}\), где \(a, b, c\) — стороны, \(R\) — радиус описанной окружности.
4. Радиус описанной окружности \(R = \frac{abc}{4S}\), где \(S\) — площадь, \(a, b, c\) — стороны.
5. Площадь треугольника \(S = pr\), где \(p\) — полупериметр, \(r\) — радиус вписанной окружности.
6. Радиус вписанной окружности \(r = \frac{S}{p}\), где \(S\) — площадь, \(p\) — полупериметр.
7. Площадь многоугольника, описанного около окружности, равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности: \(S = pr\).

1. Площадь треугольника можно найти, если известны две стороны и угол между ними, используя формулу \(S = \frac{1}{2}ab \sin C\). Здесь \(a\) и \(b\) — длины двух сторон, а \(C\) — угол между ними. Эта формула основана на том, что площадь равна половине произведения основания на высоту. Высота в данном случае выражается через сторону и синус угла, так как \(h = b \sin C\), где \(h\) — высота, опущенная на сторону \(a\).

Формула удобна тем, что не требует знания третьей стороны или высоты напрямую, достаточно знать угол между двумя сторонами. Синус угла показывает, как «наклонена» одна сторона относительно другой, и чем больше угол, тем больше площадь, достигая максимума при угле 90 градусов. Если угол равен 0 или 180 градусов, площадь равна нулю, так как треугольник вырождается в линию.

Использование тригонометрической функции синуса позволяет учитывать форму треугольника, а не только длины сторон, что делает формулу универсальной для вычисления площади в различных случаях.

2. Формула Герона позволяет найти площадь треугольника, если известны все три стороны \(a, b, c\). Сначала вычисляется полупериметр \(p = \frac{a+b+c}{2}\). Затем площадь находится по формуле \(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\). Эта формула удобна тем, что не требует знания углов или высот.

Полупериметр \(p\) — это половина суммы всех сторон, и он играет ключевую роль в вычислении площади. Выражение под корнем представляет собой произведение разностей между полупериметром и каждой стороной, что отражает геометрическую связь между сторонами треугольника. Если одна из сторон слишком велика, выражение под корнем станет отрицательным или нулём, что соответствует невозможности существования треугольника.

Формула Герона широко используется в задачах, где известны только длины сторон, и она позволяет вычислить площадь без дополнительных построений. Это особенно полезно в геометрии и тригонометрии для решения сложных задач.

3. Если известны три стороны треугольника \(a, b, c\) и радиус описанной окружности \(R\), площадь можно найти по формуле \(S = \frac{abc}{4R}\). Эта формула связывает стороны треугольника с радиусом окружности, которая проходит через все три вершины.

Радиус описанной окружности \(R\) отражает «размер» круга, в который вписан треугольник. Чем больше радиус, тем «плосче» треугольник, и тем меньше его площадь при фиксированных сторонах. Формула показывает, что площадь пропорциональна произведению сторон и обратно пропорциональна радиусу окружности.

Использование этой формулы удобно, когда известно, что треугольник вписан в окружность, и нужно найти площадь без вычисления углов или высот. Она объединяет свойства круга и треугольника, что часто встречается в задачах планиметрии.

4. Радиус описанной окружности \(R\) можно найти, если известны стороны треугольника \(a, b, c\) и его площадь \(S\), по формуле \(R = \frac{abc}{4S}\). Эта формула получается из предыдущей, выражая радиус через площадь и стороны.

Радиус описанной окружности показывает, насколько «круглым» является треугольник. Большой радиус означает, что треугольник близок к вырожденному виду, а маленький — что он более «сбалансирован». Зная площадь и стороны, можно определить этот радиус и понять геометрические свойства фигуры.

Эта формула полезна для анализа треугольников и решения задач, связанных с окружностями, вписанными или описанными около треугольника. Она связывает все ключевые параметры фигуры в одной формуле.

5. Площадь треугольника можно найти через полупериметр \(p\) и радиус вписанной окружности \(r\) по формуле \(S = pr\). Полупериметр — это половина суммы сторон, а радиус вписанной окружности — радиус круга, касающегося всех сторон треугольника внутри.

Эта формула показывает, что площадь равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности. Она основана на том, что площадь можно представить как сумму площадей треугольников, образованных радиусом и сторонами. Радиус \(r\) зависит от углов и формы треугольника.

Использование формулы удобно, когда известен радиус вписанной окружности, например, из задач на касательные окружности. Она позволяет быстро находить площадь без вычисления высот или углов.

6. Радиус вписанной окружности \(r\) можно найти по формуле \(r = \frac{S}{p}\), где \(S\) — площадь треугольника, а \(p\) — полупериметр. Эта формула является обратной к формуле из пункта 5.

Радиус вписанной окружности показывает, насколько «плотно» окружность касается всех сторон треугольника. Чем больше площадь при фиксированном полупериметре, тем больше радиус. Формула отражает геометрическую связь между площадью и размером вписанной окружности.

Эта формула полезна для вычисления радиуса, если известны площадь и стороны. Она часто используется в задачах на построение и анализ треугольников.

7. Площадь многоугольника, описанного около окружности, равна произведению полупериметра \(p\) на радиус вписанной окружности \(r\), то есть \(S = pr\). Это обобщение формулы для треугольника.

Многоугольник, описанный около окружности, имеет все стороны касающимися этой окружности. Полупериметр — половина суммы всех сторон, а радиус \(r\) — радиус окружности, касающейся всех сторон. Формула показывает, что площадь зависит от этих двух параметров.

Это важное свойство используется в геометрии для вычисления площадей вписанных многоугольников, позволяя свести задачу к вычислению полупериметра и радиуса окружности.