ГДЗ по Геометрии 9 Класс Вопросы к параграфу 6 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

1. Какой многоугольник называют правильным?
2. Какое другое название имеет правильный треугольник?
3. Какое другое название имеет правильный четырёхугольник?
4. Около какого правильного многоугольника можно описать окружность?
5. В какой правильный многоугольник можно вписать окружность?
6. Как расположены друг относительно друга центры вписанной и описанной окружностей правильного многоугольника?
7. Что называют центром правильного многоугольника?
8. Запишите формулы радиусов вписанной и описанной окружностей правильного \(n\)-угольника, треугольника, четырёхугольника, шестиугольника.
9. Опишите построение правильного шестиугольника.
10. Опишите построение правильного четырёхугольника.
11. Как, имея построенный правильный \(n\)-угольник, можно построить правильный \(2n\)-угольник?

1. Правильный многоугольник — это многоугольник с равными сторонами и равными углами.
2. Правильный треугольник — равносторонний треугольник.
3. Правильный четырёхугольник — квадрат.
4. Окружность можно описать около любого правильного многоугольника.
5. Вписать окружность можно в любой правильный многоугольник.
6. Центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
7. Центром правильного многоугольника называют точку пересечения всех его осей симметрии.

8. Формулы радиусов:
— Вписанная окружность правильного \(n\)-угольника: \(r = \frac{a}{2 \tan(\frac{\pi}{n})}\), где \(a\) — сторона.
— Описанная окружность правильного \(n\)-угольника: \(R = \frac{a}{2 \sin(\frac{\pi}{n})}\).

Для треугольника (равностороннего):
\(r = \frac{a \sqrt{3}}{6}\), \(R = \frac{a \sqrt{3}}{3}\).

Для четырёхугольника (квадрата):
\(r = \frac{a}{2}\), \(R = \frac{a \sqrt{2}}{2}\).

Для шестиугольника:
\(r = a\), \(R = a\).

9. Построение правильного шестиугольника:
Провести окружность радиуса \(a\), отложить на окружности 6 равных дуг длиной равной стороне \(a\), соединить полученные точки.

10. Построение правильного четырёхугольника (квадрата):
Провести сторону \(a\), построить перпендикуляр, отложить на нём сторону \(a\), соединить точки.

11. Чтобы построить правильный \(2n\)-угольник по правильному \(n\)-угольнику, нужно найти середины сторон \(n\)-угольника и соединить эти точки, получив \(2n\)-угольник.

1. Правильным многоугольником называют многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.

2. Правильный треугольник также называют равносторонним треугольником.

3. Правильный четырёхугольник называют квадратом.

4. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, то есть существует описанная окружность, проходящая через все вершины многоугольника.

5. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, касающуюся всех его сторон.

6. В правильном многоугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают, то есть они расположены в одной точке.

7. Центром правильного многоугольника называют точку, которая является центром вписанной и описанной окружностей, а также точкой пересечения всех осей симметрии многоугольника.

8. Формулы радиусов вписанной \(r\) и описанной \(R\) окружностей правильного \(n\)-угольника со стороной \(a\):

— Правильный \(n\)-угольник:
\(R = \frac{a}{2 \sin \frac{\pi}{n}}\),
\(r = \frac{a}{2 \tan \frac{\pi}{n}}\).

— Правильный треугольник (\(n=3\)):
\(R = \frac{a}{\sqrt{3}}\),
\(r = \frac{a}{2 \sqrt{3}}\).

— Правильный четырёхугольник (квадрат, \(n=4\)):
\(R = \frac{a}{\sqrt{2}}\),
\(r = \frac{a}{2}\).

— Правильный шестиугольник (\(n=6\)):
\(R = a\),
\(r = \frac{a \sqrt{3}}{2}\).

9. Построение правильного шестиугольника:
Построить окружность с радиусом \(a\). Отметить на окружности точку — первую вершину. От этой точки по окружности отложить шесть равных дуг, каждая длиной равной радиусу окружности. Соединить последовательно полученные точки отрезками — получится правильный шестиугольник.

10. Построение правильного четырёхугольника (квадрата):
Построить отрезок длины \(a\) — одну сторону квадрата. Через концы отрезка построить перпендикуляры той же длины \(a\). Соединить концы перпендикуляров отрезком — получится квадрат.

11. Чтобы построить правильный \(2n\)-угольник, имея правильный \(n\)-угольник:
Соединить центр многоугольника с каждой вершиной, затем на каждом отрезке радиуса описанной окружности найти середину. Соединить эти середины последовательно — получится правильный \(2n\)-угольник, вписанный в ту же окружность.