ГДЗ по Математике 5 Класс Номер 1169 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Найдите наименьшее натуральное число, при делении которого на 6/11, на 8/17 и на 12/19 в результате получим натуральные числа.

НОК (6;8;12) = 2 · 2 · 3 · 2 = 24

Ответ: число 24

Чтобы \( N \) было натуральным при делении на эти дроби, оно должно быть кратно:

1. \( \frac{6}{11} \) ⇒ \( N \) должно быть кратно \( 6 \) (числитель) и делиться на \( 11 \) (знаменатель).
2. \( \frac{8}{17} \) ⇒ \( N \) должно быть кратно \( 8 \) и делиться на \( 17 \).
3. \( \frac{12}{19} \) ⇒ \( N \) должно быть кратно \( 12 \) и делиться на \( 19 \).

Теперь мы можем записать:

— \( N = k_1 \cdot 6 \cdot 11 \)
— \( N = k_2 \cdot 8 \cdot 17 \)
— \( N = k_3 \cdot 12 \cdot 19 \)

Для нахождения наименьшего числа, которое удовлетворяет всем условиям, найдем НОК чисел \( 6, 8, 12, 11, 17, 19 \).

Разложим числа на простые множители:

— \( 6 = 2 \cdot 3 \)
— \( 8 = 2^3 \)
— \( 12 = 2^2 \cdot 3 \)
— \( 11 = 11 \)
— \( 17 = 17 \)
— \( 19 = 19 \)

Теперь найдем максимальные степени простых множителей:

— Для \( 2 \): максимальная степень — \( 2^3 \) (из \( 8 \))
— Для \( 3 \): максимальная степень — \( 3^1 \) (из \( 6 \) или \( 12 \))
— Для \( 11 \): максимальная степень — \( 11^1 \)
— Для \( 17 \): максимальная степень — \( 17^1 \)
— Для \( 19 \): максимальная степень — \( 19^1 \)

Теперь мы можем вычислить НОК:

\[
\text{НОК} = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 11^1 \cdot 17^1 \cdot 19^1
\]

Однако, для данной задачи достаточно проверить, что число \( 24 \) удовлетворяет всем условиям:

1. \( N = 24\):
— При делении на \( \frac{6}{11} = 24 \cdot \frac{11}{6} = 44\) (натуральное число)
— При делении на \( \frac{8}{17} = 24 \cdot \frac{17}{8} = 51\) (натуральное число)
— При делении на \( \frac{12}{19} = 24 \cdot \frac{19}{12} = 38\) (натуральное число)

Таким образом, наименьшее натуральное число, которое при делении на указанные дроби дает натуральные числа, равно 24.