ГДЗ по Математике 6 Класс Вариант 2 Номер 20 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

1) 16 и 36:
16 = 2⁴
36 = 2² × 3²
НОД = 2² = 4

2) 54 и 18:
54 = 2 × 3³
18 = 2 × 3²
НОД = 2 × 3² = 18

3) 76 и 114:
76 = 2² × 19
114 = 2 × 3 × 19
НОД = 2 × 19 = 38

4) 480 и 288:
480 = 2⁵ × 3 × 5
288 = 2⁵ × 3²
НОД = 2⁵ × 3 = 96

5) 27, 72 и 108:
27 = 3³
72 = 2³ × 3²
108 = 2² × 3³
НОД = 3² = 9

1) Найдём наибольший общий делитель (НОД) для чисел 16 и 36.

Разложим каждое число на простые множители:
— 16 можно представить как 2 × 2 × 2 × 2, то есть 2⁴.
— 36 можно представить как 2 × 2 × 3 × 3, то есть 2² × 3².

Теперь посмотрим, какие простые множители встречаются в обоих разложениях. Это только двойка (2). Берём наименьшую степень двойки, которая есть у обоих чисел, а именно 2². Таким образом, наибольший общий делитель этих двух чисел равен 4.

2) Найдём наибольший общий делитель для 54 и 18.

Разложим оба числа на простые множители:
— 54 = 2 × 3 × 3 × 3 = 2 × 3³
— 18 = 2 × 3 × 3 = 2 × 3²

Смотрим, какие множители есть у обоих чисел. Это двойка и тройка. Берём наименьшую степень каждого из них:
— для двойки: обеих чисел по одной двойке, значит 2¹;
— для тройки: у 54 — 3³, у 18 — 3², значит берём 3².

Перемножаем: 2 × 9 = 18.
Наибольший общий делитель — 18.

3) Найдём наибольший общий делитель для 76 и 114.

Разложим оба числа на простые множители:
— 76 = 2 × 2 × 19 = 2² × 19
— 114 = 2 × 3 × 19

Общие множители — это двойка и 19. Берём минимальные степени:
— для двойки: у 76 — 2², у 114 — 2¹, значит берём 2¹;
— для 19: у обоих чисел по одному разу.

Перемножаем: 2 × 19 = 38.
Наибольший общий делитель — 38.

4) Найдём наибольший общий делитель для 480 и 288.

Разложим оба числа на простые множители:
— 480 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 2⁵ × 3 × 5
— 288 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2⁵ × 3²

Общие множители — двойки и тройки. Берём минимальные степени:
— для двойки: у обоих чисел по пять двоек, значит 2⁵;
— для тройки: у 480 — одна тройка, у 288 — две тройки, значит берём 3¹.

Перемножаем: 32 × 3 = 96.
Наибольший общий делитель — 96.

5) Найдём наибольший общий делитель для трёх чисел: 27, 72 и 108.

Разложим все три числа на простые множители:
— 27 = 3 × 3 × 3 = 3³
— 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2³ × 3²
— 108 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 2² × 3³

Смотрим на общие множители. Единственный общий множитель у всех трёх чисел — это тройка. Теперь берём наименьшую степень тройки, которая встречается во всех трёх разложениях:
— у 27 — 3³,
— у 72 — 3²,
— у 108 — 3³.

Значит, наименьшая степень — это 3².

Вычисляем: 3 × 3 = 9.

Итак, наибольший общий делитель для 27, 72 и 108 — это 9.