ГДЗ Мерзляк 6 Класс по Математике Полонский Дидактические Материалы 📕 Якир — Все Части

Математика Дидактические Материалы

Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С.

6 класс

Тип

Дидактические материалы

Автор

Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С.

Год

2017-2023.

Издательство

Вентана-граф

Описание

Дидактические материалы по математике для 6 класса, авторами которых являются А.Г. Мерзляк и В.Б. Полонский, представляют собой незаменимое пособие для углубленного изучения и закрепления школьной программы. Этот сборник заданий является отличным дополнением к основному учебнику, предлагая учащимся и учителям широкий спектр упражнений для эффективной работы.

ГДЗ по Математике 6 Класс Вариант 3 Номер 20 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Задача

Найдите наибольший общий делитель чисел:

1) 12 и 32; 3) 68 и 102; 5) 32, 96 и 112.

2) 14 и 42; 4) 360 и 336;

Краткий ответ:

1) \( 12 = 2^2 \cdot 3; \quad 32 = 2^5 \)

12	2
6	2
3	3
1

32	2
16	2
8	2
4	2
2	2
1

Общие простые множители: \( 2^2 \) (минимальная степень).

НОД \( (12; 32) = 2^2 = 4 \)

2) \( 14 = 2 \cdot 7; \quad 42 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \)

14	2
7	7
1

42	2
21	3
7	7
1

Общие множители: \( 2 \cdot 7 \).

НОД \( (14; 42) = 2 \cdot 7 = 14 \)

3) \( 68 = 2^2 \cdot 17; \quad 102 = 2 \cdot 3 \cdot 17 \)

68	2
34	2
17	17
1

102	2
51	3
17	17
1

Общие множители: \( 2 \cdot 17 \).

НОД \( (68; 102) = 2 \cdot 17 = 34 \)

4) \( 360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5; \quad 336 = 2^4 \cdot 3 \cdot 7 \)

360	2
180	2
90	2
45	3
15	3
5	5
1

336	2
168	2
84	2
42	2
21	3
7	7
1

Общие множители: \( 2^3 \) (минимум из степеней) и \( 3^1 \).

\( 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24 \)

НОД \( (360; 336) = 24 \)

Подробный ответ:

Найдите наибольший общий делитель (НОД) для каждой пары чисел, используя метод разложения на простые множители.

Правило нахождения НОД:
1. Разложите каждое число на простые множители.
2. Выпишите все общие простые множители.
3. Взять каждый общий множитель в степени, равной наименьшей из степеней, с которыми он входит в разложения.
4. Перемножьте их — результат и будет НОД.

1) \( 12 \) и \( 32 \)

Разложение на простые множители:

\( 12 = 2^2 \cdot 3; \quad 32 = 2^5 \)

12	2
6	2
3	3
1

12 → 6 → 3 → 1

32	2
16	2
8	2
4	2
2	2
1

32 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1

Шаг 1: Общие простые множители — только 2.

Шаг 2: Минимальная степень двойки: \( \min(2, 5) = 2 \) → берём \( 2^2 \).

Шаг 3: \( 2^2 = 4 \).

НОД \( (12; 32) = 4 \)

2) \( 14 \) и \( 42 \)

\( 14 = 2 \cdot 7; \quad 42 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \)

14	2
7	7
1

42	2
21	3
7	7
1

Общие множители: \( 2 \) и \( 7 \).

Произведение: \( 2 \cdot 7 = 14 \).

НОД \( (14; 42) = 14 \)

3) \( 68 \) и \( 102 \)

\( 68 = 2^2 \cdot 17; \quad 102 = 2 \cdot 3 \cdot 17 \)

68	2
34	2
17	17
1

102	2
51	3
17	17
1

Общие множители: \( 2^1 \) и \( 17^1 \) → \( 2 \cdot 17 = 34 \).

НОД \( (68; 102) = 34 \)

4) \( 360 \) и \( 336 \)

\( 360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5; \quad 336 = 2^4 \cdot 3 \cdot 7 \)

360	2
180	2
90	2
45	3
15	3
5	5
1

336	2
168	2
84	2
42	2
21	3
7	7
1

Общие основания: \( 2 \) и \( 3 \).

Минимальные степени:
Для \( 2 \): \( \min(3, 4) = 3 \) → \( 2^3 \)
Для \( 3 \): \( \min(2, 1) = 1 \) → \( 3^1 \)

Вычисление: \( 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24 \).

НОД \( (360; 336) = 24 \)

Итог:
Метод разложения на простые множители позволяет точно и системно находить НОД любых натуральных чисел. Особенно удобен при работе с большими числами и при подготовке к контрольным работам.

Оцени решение