ГДЗ по Математике 6 Класс Вариант 3 Номер 22 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Запишите все правильные дроби со знаменателем 20 у которых числитель и знаменатель — взаимно простые числа.

Правильные дроби со знаменателем 20 — это дроби вида $\frac{n}{20}$, где $n < 20$.

Взаимно простые числа с 20 — те, у которых НОД с 20 равен 1.

Числа, взаимно простые с 20: 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19.

Значит, правильные дроби:

$$\frac{1}{20}, \frac{3}{20}, \frac{7}{20}, \frac{9}{20}, \frac{11}{20}, \frac{13}{20}, \frac{17}{20}, \frac{19}{20}$$

Нам нужно записать все правильные дроби со знаменателем 20, у которых числитель и знаменатель взаимно просты.

Шаг 1. Что такое правильная дробь?
Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. В нашем случае знаменатель всегда 20, значит числитель — любое число $n$, такое что $1 \leq n < 20$.

Шаг 2. Взаимно простые числа
Числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1.

Нужно найти все $n$ от 1 до 19 таких, что $\gcd(n, 20) = 1$.

Шаг 3. Разложение числа 20 на простые множители:
$20 = 2^2 \times 5$

Числа, которые не делятся ни на 2, ни на 5, будут взаимно просты с 20.

Шаг 4. Проверим числа от 1 до 19:

• 1 (взаимно просто с любым числом)
• 2 (делится на 2, не подходит)
• 3 (не делится на 2 или 5)
• 4 (делится на 2, не подходит)
• 5 (делится на 5, не подходит)
• 6 (делится на 2, не подходит)
• 7 (не делится на 2 или 5)
• 8 (делится на 2, не подходит)
• 9 (не делится на 2 или 5)
• 10 (делится на 2 и 5, не подходит)
• 11 (не делится на 2 или 5)
• 12 (делится на 2, не подходит)
• 13 (не делится на 2 или 5)
• 14 (делится на 2, не подходит)
• 15 (делится на 5, не подходит)
• 16 (делится на 2, не подходит)
• 17 (не делится на 2 или 5)
• 18 (делится на 2, не подходит)
• 19 (не делится на 2 или 5)

Шаг 5. Итог:
Взаимно простые с 20 числа из диапазона 1–19:
$1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19$

Ответ — правильные дроби со знаменателем 20, у которых числитель и знаменатель взаимно просты:

$$\frac{1}{20}, \frac{3}{20}, \frac{7}{20}, \frac{9}{20}, \frac{11}{20}, \frac{13}{20}, \frac{17}{20}, \frac{19}{20}$$