ГДЗ по Математике 6 Класс Вариант 3 Номер 24 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

В гостиницу завезли 108 кроватей и 72 шкафа, которые поровну распределили по номерам. Сколько номеров в гостинице, если известно, что их больше 30?

В гостиницу завезли:

• 108 кроватей,
• 72 шкафа.

Эти предметы мебели распределили по номерам поровну, то есть в каждом номере одинаковое количество кроватей и одинаковое количество шкафов.

Что нужно найти?
Количество номеров в гостинице, если известно, что их больше 30.

Логика решения

Если $N$ — количество номеров, то:

• количество кроватей в каждом номере равно $\frac{108}{N}$,
• количество шкафов в каждом номере равно $\frac{72}{N}$.

При этом $N$ — число, на которое одновременно делятся и 108, и 72 (иначе мебель не разложится поровну).

Значит, $N$ — общий делитель чисел 108 и 72.

Найдем общий делитель

Чтобы найти все возможные $N$, нужно найти все делители $\gcd (108,72)$.

Вычислим НОД (наибольший общий делитель) 108 и 72:

$108=72\cdot 1+36$

$72=36\cdot 2+0$

Значит, $\gcd (108,72)=36$.

Возможные значения $N$

Все общие делители — это делители 36:
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Из них нужно выбрать такие, которые больше 30. Единственное такое число — 36.

Ответ:

Количество номеров — 36.

Условие задачи

В гостиницу доставили:

• 108 кроватей,
• 72 шкафа.

Эти кровати и шкафы нужно распределить поровну по номерам гостиницы. То есть в каждом номере одинаковое количество кроватей и одинаковое количество шкафов.

При этом нам известно, что номеров в гостинице больше 30.

Что означает «поровну распределили»?

Поровну распределили значит:

• Количество кроватей в каждом номере одинаково, и при этом сумма кроватей по всем номерам равна 108.
• Аналогично шкафы распределены по номерам так, чтобы в каждом номере их было одинаковое количество, и сумма равнялась 72.

Как найти количество номеров?

Обозначим количество номеров через $N$.

Тогда:

• В каждом номере кроватей будет $\frac{108}{N}$,
• В каждом номере шкафов будет $\frac{72}{N}$.

Поскольку кровати и шкафы нельзя разрезать или делить на части, $\frac{108}{N}$ и $\frac{72}{N}$ должны быть целыми числами.

Иначе говоря, число $N$ должно быть делителем и 108, и 72 одновременно.

Как найти подходящее число $N$?

Задача сводится к поиску общих делителей чисел 108 и 72.

Делители — это числа, на которые данное число делится без остатка.

Найдём НОД (наибольший общий делитель)

Наибольший общий делитель — это максимальное число, на которое одновременно делятся и 108, и 72.

Используем алгоритм Евклида:

$108=72\times 1+36$

$72=36\times 2+0$

Последний ненулевой остаток — 36, значит:

$$\gcd (108,72)=36$$

Все общие делители 108 и 72

Все делители числа 36:

$$1,2,3,4,6,9,12,18,36$$

Все эти числа являются и делителями 108 и 72.

Условие задачи — больше 30

В условии сказано, что номеров больше 30.

Среди перечисленных общих делителей только одно число больше 30 — это 36.

Проверка

Если номеров 36:

• Кроватей в каждом номере будет $\frac{108}{36}=3$,
• Шкафов в каждом номере будет $\frac{72}{36}=2$.

Это целые числа, значит такое распределение возможно.

Итог:

Количество номеров в гостинице — 36.