ГДЗ по Математике 6 Класс Вариант 3 Номер 26 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел а и b, если

$$a = 2^4 \cdot 5^2 \cdot 11^1$$ $$b = 2^3 \cdot 5^3 \cdot 11^2$$

Даны:

$$a = 2^4 \cdot 5^2 \cdot 11^1$$

$$b=2^3\cdot 5^3\cdot {11}^2$$

НОД — берём минимальные степени каждого простого:

$$\gcd (a,b)=2^{\min (4,3)}\cdot 5^{\min (2,3)}\cdot {11}^{\min (1,2)}=2^3\cdot 5^2\cdot {11}^1=8\cdot 25\cdot 11=2200$$

НОК — берём максимальные степени каждого простого:

$$\text{НОК}(a,b)=2^{\max (4,3)}\cdot 5^{\max (2,3)}\cdot {11}^{\max (1,2)}=2^4\cdot 5^3\cdot {11}^2=16\cdot 125\cdot 121=242000$$

Ответ:

$$\gcd(a,b) = 2200, \quad \mathrm{НОК}(a,b) = 242000$$

Условие задачи

Даны два числа $a$ и $b$ в разложении на простые множители:

$$a = 2^4 \cdot 5^2 \cdot 11^1$$ $$b = 2^3 \cdot 5^3 \cdot 11^2$$

Нужно найти:

• наибольший общий делитель ($\gcd$) чисел $a$ и $b$,
• наименьшее общее кратное ($\mathrm{НОК}$) чисел $a$ и $b$.

Теоретическая часть

Для чисел, представленных в виде разложения на простые множители:

$$a = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{\alpha_n}$$

$$b = p_1^{\beta_1} \cdot p_2^{\beta_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{\beta_n}$$

где $p_i$ — простые числа, а $\alpha_i, \beta_i$ — натуральные показатели степеней.

Тогда:

• $\gcd(a,b) = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)} \cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \ldots \cdot p_n^{\min(\alpha_n, \beta_n)}$
• $\mathrm{НОК}(a,b) = p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)} \cdot p_2^{\max(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \ldots \cdot p_n^{\max(\alpha_n, \beta_n)}$

Решение для наших чисел

Шаг 1: Найдём НОД

Сравним показатели степеней у каждого простого числа:

Тогда:

$$\gcd(a,b) = 2^3 \cdot 5^2 \cdot 11^1$$

Вычислим:

• $2^3 = 8$
• $5^2 = 25$
• $11^1 = 11$

Перемножим:

$$8\times 25=200,200\times 11=2200$$

Шаг 2: Найдём НОК

Теперь возьмём максимальные степени:

Тогда:

$$\mathrm{НОК}(a,b) = 2^4 \cdot 5^3 \cdot 11^2$$

Вычислим:

• $2^4 = 16$
• $5^3 = 125$
• $11^2 = 121$

Перемножим поэтапно:

$$16 \times 125 = 2000$$

$$2000\times 121=242000$$

Итог:

$$\boxed{ \begin{cases} \gcd(a,b) = 2200 \\ \mathrm{НОК}(a,b) = 242000 \end{cases} }$$