ГДЗ по Математике 6 Класс Вариант 4 Номер 20 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

1)
\[
НОД(21, 35) = 7
\]

2)
\[
НОД(18, 72) = 18
\]

3)
\[
НОД(60, 105) = 15
\]

4)
\[
НОД(168, 784) = 56
\]

5)
\[
НОД(36, 72,90) = 18
\]

\[
\textbf{Решение:}
\]

1) Найдём НОД(21, 35)
\[
21 = 3 \times 7, \qquad 35 = 5 \times 7.
\]

Разложим оба числа на простые множители.
У числа 21 простые множители — 3 и 7.
У числа 35 простые множители — 5 и 7.
Общий множитель у них только один — это число 7.

Следовательно:
\[
\text{НОД}(21, 35) = 7.
\]

2) Найдём  НОД(18, 72)
\[
18 = 2 \times 3 \times 3 = 2 \times 3^2,
\]

\[
72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^2.
\]

Выберем простые множители, общие для обоих чисел, с наименьшими степенями.
Оба числа имеют множители \(2\) и \(3\).
Для числа 2 минимальная степень — \(2^1\),
для числа 3 минимальная степень — \(3^2\).

Перемножим общие множители:
\[
\text{НОД}(18, 72) = 2^1 \times 3^2 = 2 \times 9 = 18.
\]

3) Найдём НОД(60, 105)
\[
60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5,
\]

\[
105 = 3 \times 5 \times 7.
\]

Общие простые множители у чисел 60 и 105 — это \(3\) и \(5\).
У числа 60 множители: \(2^2, 3^1, 5^1\).
У числа 105 множители: \(3^1, 5^1, 7^1\).
Выберем общие с минимальными степенями:
\[
3^1 \text{ и } 5^1.
\]

Перемножим их:
\[
\text{НОД}(60, 105) = 3 \times 5 = 15.
\]

4) Найдём НОД(168, 784)
\[
168 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 7 = 2^3 \times 3 \times 7,
\]

\[
784 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 7 \times 7 = 2^4 \times 7^2.
\]

Теперь выделим общие простые множители: это \(2\) и \(7\).
У числа 168 множитель \(2\) встречается в степени 3,
у числа 784 — в степени 4, значит берём меньшую степень \(2^3\).
Множитель \(7\) встречается в первой и второй степени соответственно, берём меньшую — \(7^1\).

Находим произведение общих множителей:
\[
\text{НОД}(168, 784) = 2^3 \times 7 = 8 \times 7 = 56.
\]

5) Найдём НОД(36, 72, 90)
\[
36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^2,
\]

\[
72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^2,
\]

\[
90 = 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^1 \times 3^2 \times 5^1.
\]

Теперь нужно найти общие простые множители для всех трёх чисел.
У всех трёх присутствуют множители \(2\) и \(3\).

Для числа 2 минимальная степень — \(2^1\) (так как в числе 90 только одна двойка).
Для числа 3 минимальная степень — \(3^2\) (так как во всех трёх числах есть по две тройки).
Множитель 5 есть только в числе 90, но не во всех трёх, поэтому его не учитываем.

Теперь перемножим общие множители:
\[
\text{НОД}(36, 72, 90) = 2^1 \times 3^2 = 2 \times 9 = 18.
\]

\[
\begin{aligned}
\text{НОД}(21, 35) &= 7, \\
\text{НОД}(18, 72) &= 18, \\
\text{НОД}(60, 105) &= 15, \\
\text{НОД}(168, 784) &= 56, \\
\text{НОД}(36, 72, 90) &= 18.
\end{aligned}
\]

Вывод:
Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) нескольких чисел, нужно:
1. Разложить каждое число на простые множители.
2. Найти все простые числа, которые встречаются во всех разложениях.
3. Для каждого такого числа выбрать наименьшую степень, в которой оно встречается.
4. Перемножить выбранные множители.
Результат и будет \(\text{НОД}\).