1-11 класс
  • 1-11 класс
  • 1 класс
  • 2 класс
  • 3 класс
  • 4 класс
  • 5 класс
  • 6 класс
  • 7 класс
  • 8 класс
  • 9 класс
  • 10 класс
  • 11 класс
Выберите класс
Предметы
ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Рабочая Тетрадь📕Мерзляк, Полонский Все Части
Рабочая Тетрадь Часть 1
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С.
6 класс
Тип
Рабочая тетрадь
Автор
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С.
Год
2016-2023.
Издательство
Вентана-граф
Часть
1, 2, 3
Описание

ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 142 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Задача

111+112+113+114+115>13 151+152+153++199+1100>1\frac{1}{51} + \frac{1}{52} + \frac{1}{53} + \ldots + \frac{1}{99} + \frac{1}{100} > 1

Краткий ответ:

1)

111+112+113+114+115>13\frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \frac{1}{13} + \frac{1}{14} + \frac{1}{15} > \frac{1}{3}

Проверим примерными значениями:

1110,0909,1120,0833,1130,0769,1140,0714,1150,0667\frac{1}{11} \approx 0{,}0909, \quad \frac{1}{12} \approx 0{,}0833, \quad \frac{1}{13} \approx 0{,}0769, \quad \frac{1}{14} \approx 0{,}0714, \quad \frac{1}{15} \approx 0{,}0667

Сложим:

0,0909+0,0833+0,0769+0,0714+0,0667=0,3892>0,33330{,}0909 + 0{,}0833 + 0{,}0769 + 0{,}0714 + 0{,}0667 = 0{,}3892 > 0{,}3333

Значит неравенство верно.

2)

151+152++1100>1\frac{1}{51} + \frac{1}{52} + \ldots + \frac{1}{100} > 1

Это сумма 50 членов гармонического ряда с большими знаменателями. Известно, что сумма от

ln20,693\ln 2 \approx 0{,}693, а здесь у нас почти двойной интервал.

Проверка по формуле:

H100H50ln(100)+γ(ln(50)+γ)=ln(2)0,693H_{100} — H_{50} \approx \ln(100) + \gamma — (\ln(50) + \gamma) = \ln(2) \approx 0{,}693

Но тут у нас от 51 до 100 — чуть меньше. Однако, поскольку верхняя часть приближённо больше 0.68, что чуть меньше 1.

Поэтому утверждение неверно, если > >   стоит строго 1.

Возможно, условие предполагает другое, или > — с другим числом.

Подробный ответ:

1) Доказательство неравенства

111+112+113+114+115>13\frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \frac{1}{13} + \frac{1}{14} + \frac{1}{15} > \frac{1}{3}

Шаг 1: Приблизительные значения дробей

Для понимания возьмём десятичные приближения:


  • 1110,090909

  • 112=0,083333\frac{1}{12} = 0{,}083333

  • 1130,076923\frac{1}{13} \approx 0{,}076923

  • 1140,071429\frac{1}{14} \approx 0{,}071429
  •  
    115=0,066666\frac{1}{15} = 0{,}066666

Шаг 2: Суммируем дроби

Складываем:

0,090909+0,083333+0,076923+0,071429+0,066666=0,389260{,}090909 + 0{,}083333 + 0{,}076923 + 0{,}071429 + 0{,}066666 = 0{,}38926

Шаг 3: Сравниваем с  13\frac{1}{3}130,33333\frac{1}{3} \approx 0{,}33333Очевидно,0,38926>0,333330{,}38926 > 0{,}33333

То есть, сумма действительно больше  13\frac{1}{3}.

2) Оценка суммы

151+152+153++199+1100>1\frac{1}{51} + \frac{1}{52} + \frac{1}{53} + \ldots + \frac{1}{99} + \frac{1}{100} > 1

Шаг 1: Понимание природы суммы

Это часть гармонического ряда — суммы вида

1k\sum \frac{1}{k}, где растёт.

Известно, что гармонический ряд растёт очень медленно, но бесконечно.

Шаг 2: Используем понятие гармонических чисел

Обозначим частичную сумму:S=H100H50=k=511001kS = H_{100} — H_{50} = \sum_{k=51}^{100} \frac{1}{kгдеHn=k=1n1kH_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}

Шаг 3: Приближённое вычисление через логарифмы

Гармонические числа приближённо равны:Hnlnn+γ+12nH_n \approx \ln n + \gamma + \frac{1}{2n}

где

γ0,5772\gamma \approx 0{,}5772

— константа Эйлера-Маскерони.

Поэтому:S(ln100+γ+1200)(ln50+γ+1100)=ln10050+12001100=ln21200S \approx (\ln 100 + \gamma + \frac{1}{200}) — (\ln 50 + \gamma + \frac{1}{100}) = \ln \frac{100}{50} + \frac{1}{200} — \frac{1}{100} = \ln 2 — \frac{1}{200}

Шаг 4: Значения численноln20,6931,1200=0,005\ln 2 \approx 0{,}6931, \quad \frac{1}{200} = 0{,}005

Итого:S0,69310,005=0,6881S \approx 0{,}6931 — 0{,}005 = 0{,}6881

Шаг 5: Вывод

Сумма равна примерно 0,6880{,}688, то есть меньше 11, поэтому неравенство с>1> 1   не выполняется.

Итог:

  • В первом пункте доказали, что сумма действительно больше  13\frac{1}{3}.
  • Во втором пункте сумма меньше 1, значит неравенство>1>1  — ложно.


Общая оценка
3.6 / 5
Комментарии
Другие учебники
Другие предметы
Как выбрать ГДЗ по математике

Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.