ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 142 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что:

$$\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\frac{1}{13}+\frac{1}{14}+\frac{1}{15}>\frac{1}{3}$$ $$\frac{1}{51} + \frac{1}{52} + \frac{1}{53} + \ldots + \frac{1}{99} + \frac{1}{100} > 1$$

1)

$$\frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \frac{1}{13} + \frac{1}{14} + \frac{1}{15} > \frac{1}{3}$$

Проверим примерными значениями:

$$\frac{1}{11} \approx 0{,}0909, \quad \frac{1}{12} \approx 0{,}0833, \quad \frac{1}{13} \approx 0{,}0769, \quad \frac{1}{14} \approx 0{,}0714, \quad \frac{1}{15} \approx 0{,}0667$$

Сложим:

$$0{,}0909 + 0{,}0833 + 0{,}0769 + 0{,}0714 + 0{,}0667 = 0{,}3892 > 0{,}3333$$

Значит неравенство верно.

2)

$$\frac{1}{51} + \frac{1}{52} + \ldots + \frac{1}{100} > 1$$

Это сумма 50 членов гармонического ряда с большими знаменателями. Известно, что сумма от

$\ln 2 \approx 0{,}693$

, а здесь у нас почти двойной интервал.

Проверка по формуле:

$$H_{100} — H_{50} \approx \ln(100) + \gamma — (\ln(50) + \gamma) = \ln(2) \approx 0{,}693$$

Но тут у нас от 51 до 100 — чуть меньше. Однако, поскольку верхняя часть приближённо больше 0.68, что чуть меньше 1.

Поэтому утверждение неверно, если $>$стоит строго 1.

Возможно, условие предполагает другое, или $>$— с другим числом.

1) Доказательство неравенства

$$\frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \frac{1}{13} + \frac{1}{14} + \frac{1}{15} > \frac{1}{3}$$

Шаг 1: Приблизительные значения дробей

Для понимания возьмём десятичные приближения:

• $\frac{1}{11}\approx \mathrm{0,090909}$
• $\frac{1}{12} = 0{,}08333$
• $\frac{1}{13} \approx 0{,}076923$
• $\frac{1}{14} \approx 0{,}071429$
• $\frac{1}{15} = 0{,}066666$

Шаг 2: Суммируем дроби

Складываем:

$$0{,}090909 + 0{,}083333 + 0{,}076923 + 0{,}071429 + 0{,}066666 = 0{,}38926$$

Шаг 3: Сравниваем с  $\frac{1}{3}$ $$\frac{1}{3} \approx 0{,}33333$$Очевидно,

$$0{,}38926 > 0{,}33333$$То есть, сумма действительно больше  $\frac{1}{3}$.

2) Оценка суммы

$$\frac{1}{51} + \frac{1}{52} + \frac{1}{53} + \ldots + \frac{1}{99} + \frac{1}{100} > 1$$

Шаг 1: Понимание природы суммы

Это часть гармонического ряда — суммы вида

$\sum \frac{1}{k}$, где $k$растёт.

Известно, что гармонический ряд растёт очень медленно, но бесконечно.

Шаг 2: Используем понятие гармонических чисел

Обозначим частичную сумму:$$S = H_{100} — H_{50} = \sum_{k=51}^{100} \frac{1}{k$$где$$H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$$

Шаг 3: Приближённое вычисление через логарифмы

Гармонические числа приближённо равны:$$H_n \approx \ln n + \gamma + \frac{1}{2n}$$где

$\gamma \approx 0{,}5772$

— константа Эйлера-Маскерони.

Поэтому:$$S \approx (\ln 100 + \gamma + \frac{1}{200}) — (\ln 50 + \gamma + \frac{1}{100}) = \ln \frac{100}{50} + \frac{1}{200} — \frac{1}{100} = \ln 2 — \frac{1}{200}$$

Шаг 4: Значения численно$$\ln 2 \approx 0{,}6931, \quad \frac{1}{200} = 0{,}005$$

Итого:$$S \approx 0{,}6931 — 0{,}005 = 0{,}6881$$

Шаг 5: Вывод

Сумма равна примерно $0{,}688$, то есть меньше $1$, поэтому неравенство с$> 1$не выполняется.

Итог:

• В первом пункте доказали, что сумма действительно больше  $\frac{1}{3}$.
• Во втором пункте сумма меньше 1, значит неравенство$>1$ — ложно.