ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 161 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Может ли быть простым числом сумма четырех последовательных натуральных чисел? Ответ обоснуйте.

Сумма четырёх последовательных натуральных чисел может быть записана как:

\[
n + (n+1) + (n+2) + (n+3) = 4n + 6
\]

Эту сумму можно переписать как:

\[
4n + 6 = 2(2n + 3)
\]

Таким образом, сумма четырёх последовательных натуральных чисел всегда чётная и больше 2, что означает, что она не может быть простым числом (так как простое число, кроме 2, не может быть чётным).

Следовательно, сумма четырёх последовательных натуральных чисел не может быть простым числом.

Шаг 1. Запись суммы четырёх последовательных чисел

Обозначим первое из четырёх последовательных натуральных чисел как \( n \). Тогда четыре последовательных числа будут:

\[
n, \, n+1, \, n+2, \, n+3.
\]

Их сумма равна:

\[
n + (n+1) + (n+2) + (n+3).
\]

Складываем:

\[
n + n + 1 + n + 2 + n + 3 = 4n + 6.
\]

Таким образом, сумма четырёх последовательных натуральных чисел равна \( 4n + 6 \).

Шаг 2. Анализ выражения \( 4n + 6 \)

Рассмотрим подробнее выражение \( 4n + 6 \). Заметим, что его можно представить в виде:

\[
4n + 6 = 2(2n + 3).
\]

Мы видим, что сумма \( 4n + 6 \) всегда делится на \( 2 \), то есть она **всегда чётная**.

Шаг 3. Свойства простых чисел

Простое число — это натуральное число, которое имеет ровно два делителя: \( 1 \) и само себя. Однако среди всех простых чисел только одно число является чётным — это \( 2 \). Все остальные простые числа нечётные, так как любое другое чётное число делится на \( 2 \) и не может быть простым.

Шаг 4. Проверка на возможность равенства суммы чисел простому числу

Поскольку сумма четырёх последовательных натуральных чисел \( 4n + 6 \) всегда чётная, она может быть простым числом **только в случае, если равна \( 2 \)**. Проверим, возможно ли это:

\[
4n + 6 = 2.
\]

Решим это уравнение:

\[
4n = 2 — 6, \quad 4n = -4, \quad n = -1.
\]

Мы получили \( n = -1 \), но \( n \) — это натуральное число, а натуральные числа начинаются с \( 1 \). Следовательно, такого значения \( n \) быть не может.

Шаг 5. Вывод

Сумма четырёх последовательных натуральных чисел \( 4n + 6 \) всегда чётная и больше \( 2 \). Таким образом, она не может быть простым числом, так как единственное чётное простое число — это \( 2 \), а наша сумма никогда не равна \( 2 \).

Ответ: сумма четырёх последовательных натуральных чисел не может быть простым числом.