ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 207 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Найдите наименьшее натуральное число, при делении которого на \(\frac{6}{11}\) и на \(\frac{8}{15}\) в результате получим натуральное число.

Нужно, чтобы

$\frac{x}{6/11} = x \cdot 11/6$и $\frac{x}{8\mathrm{/}15}=x\cdot \mathrm{\backslash (\backslash frac\{15\}\{8\}\backslash )\; }$были натуральными.

Значит:$$x \cdot \frac{11}{6} = \text{нат.} \Rightarrow x = 6k/11$$

$$x \cdot \frac{15}{8} = \text{нат.} \Rightarrow x = 8m/15$$

Но проще — чтобы $x$ делилось на оба знаменателя:$$x = N \cdot \text{НОК}(6/11, 8/15)$$

Приводим к общему виду:$$6/11 = 6 \cdot 15 / (11 \cdot 15) = 90/165$$$$8/15 = 8 \cdot 11 / (15 \cdot 11) = 88/165$$

Ищем НОК числителей = НОК(90, 88) = 1980
НОД знаменателей = 165$$x = 1980 / 165 = 12$$

Но так как 12 не подходит (12 * 11 /6 = 22 — нат., 12*15/8 = 22.5 — не нат.), берём наименьшее общее кратное, которое даёт нат. оба произведения:

$$x = 24$$

Ответ:$x = 24$.

Нам нужно, чтобы при делении числа $x$на $\frac{6}{11}$и  на $\frac{8}{15}$

получалось натуральное число:

$$\frac{x}{6/11} = x \cdot \frac{11}{6} = \text{натуральное число}$$

$$\frac{x}{8/15} = x \cdot \frac{15}{8} = \text{натуральное число}$$

Значит, $x$должно быть таким, чтобы:$$x \cdot \frac{11}{6} = A \quad (A \in \mathbb{N})$$$$x \cdot \frac{15}{8} = B \quad (B \in \mathbb{N})$$

То есть $x$должно делиться на $\mathrm{\backslash (\backslash frac\{6\}\{11\}\backslash ) }$$$и $\mathrm{\backslash (\backslash frac\{8\}\{15\}\backslash )}$. Чтобы это было так, запишем условия:$$x = 6 \cdot \frac{A}{11}$$$$x = 8 \cdot \frac{B}{15}$$

Чтобы $x$было целым числом, нужно, чтобы $x$было кратно:

$$\frac{6}{11} \quad \Rightarrow x = 6k/11$$

$$\frac{8}{15} \quad \Rightarrow x = 8m/15$$

Но так можно запутаться. Лучше сразу привести к общему знаменателю:

$$6/11 = 90/165$$

$$8/15 = 88/165$$

Чтобы при делении $x$на каждую дробь получалось натуральное число, $x$

должен быть кратен наименьшему общему кратному числителей этих дробей:

$$\text{НОК}(90, 88) = 1980$$

А знаменатель у нас общий — 165.

Значит:

$$x = \frac{1980}{165} = 12$$

Но проверим:

$$12 \cdot \frac{11}{6} = 22 \quad (\text{натуральное})$$

$$12 \cdot \frac{15}{8} = 22{,}5 \quad (\text{не натуральное})$$

Значит, 12 не подходит.

Следующее кратное 12, которое даст натур. результат при умножении на $15/8$:$$24 \cdot \frac{11}{6} = 44$$$$24 \cdot \frac{15}{8} = 45$$

Оба — натуральные.

Окончательный ответ:

$$\boxed{24}$$

Это наименьшее натуральное число, которое подходит.