ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 217 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

В саду растут яблони, груши и вишни. Яблони составляют \(\frac{4}{15}\) всех деревьев, груши — \(\frac{5}{9}\) , а вишни — остальные 32 дерева. Сколько всего деревьев растёт в саду?

Пусть всего в саду \( x \) деревьев. Тогда:
— Яблони составляют \( \frac{4}{15}x \),
— Груши составляют \( \frac{5}{9}x \),
— Вишни — остальные 32 дерева.

Составим уравнение:
\[
\frac{4}{15}x + \frac{5}{9}x + 32 = x.
\]

Приведем дроби к общему знаменателю
Общий знаменатель для 15 и 9 — это 45. Преобразуем дроби:
\[
\frac{4}{15}x = \frac{12}{45}x, \quad \frac{5}{9}x = \frac{25}{45}x.
\]

Подставим в уравнение:
\[
\frac{12}{45}x + \frac{25}{45}x + 32 = x.
\]

Сложим дроби:
\[
\frac{12}{45}x + \frac{25}{45}x = \frac{37}{45}x.
\]

Уравнение примет вид:
\[
\frac{37}{45}x + 32 = x.
\]

Решим уравнение
Перенесем \( \frac{37}{45}x \) в правую часть:
\[
32 = x — \frac{37}{45}x.
\]

Вынесем \( x \) за скобки:
\[
32 = x \left(1 — \frac{37}{45}\right).
\]

Упростим скобки:
\[
1 — \frac{37}{45} = \frac{45}{45} — \frac{37}{45} = \frac{8}{45}.
\]

Теперь уравнение выглядит так:
\[
32 = x \cdot \frac{8}{45}.
\]

Выразим \( x \):
\[
x = \frac{32 \cdot 45}{8}.
\]

Выполним деление:
\[
x = \frac{1440}{8} = 180.
\]

Ответ:
Всего в саду растёт 180 деревьев.

Пусть всего в саду \( x \) деревьев. По условию:
— Яблони составляют \( \frac{4}{15}x \),
— Груши составляют \( \frac{5}{9}x \),
— Вишни — остальные 32 дерева.

Составим уравнение, учитывая, что сумма всех деревьев равна \( x \):
\[
\frac{4}{15}x + \frac{5}{9}x + 32 = x.
\]

Шаг 1: Приведение дробей к общему знаменателю
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 15 и 9 равен 45. Преобразуем дроби:
\[
\frac{4}{15}x = \frac{12}{45}x, \quad \frac{5}{9}x = \frac{25}{45}x.
\]

Подставим преобразованные дроби в уравнение:
\[
\frac{12}{45}x + \frac{25}{45}x + 32 = x.
\]

Шаг 2: Сложим дроби
Сложим дроби в левой части уравнения:
\[
\frac{12}{45}x + \frac{25}{45}x = \frac{37}{45}x.
\]

Теперь уравнение принимает вид:
\[
\frac{37}{45}x + 32 = x.
\]

Шаг 3: Перенос слагаемых
Перенесем \( \frac{37}{45}x \) в правую часть уравнения, изменив знак:
\[
32 = x — \frac{37}{45}x.
\]

В правой части вынесем \( x \) за скобки:
\[
32 = x \left(1 — \frac{37}{45}\right).
\]

Шаг 4: Упрощение выражения в скобках
Упростим выражение \( 1 — \frac{37}{45} \):
\[
1 = \frac{45}{45}, \quad 1 — \frac{37}{45} = \frac{45}{45} — \frac{37}{45} = \frac{8}{45}.
\]

Теперь уравнение выглядит так:
\[
32 = x \cdot \frac{8}{45}.
\]

Шаг 5: Выражение \( x \)
Чтобы найти \( x \), разделим обе стороны уравнения на \( \frac{8}{45} \), что эквивалентно умножению на \( \frac{45}{8} \):
\[
x = 32 \cdot \frac{45}{8}.
\]

Шаг 6: Упрощение произведения
Выполним умножение:
\[
32 \cdot 45 = 1440.
\]

Теперь разделим \( 1440 \) на \( 8 \):
\[
x = \frac{1440}{8} = 180.
\]

Шаг 7: Проверка
Всего деревьев \( x = 180 \). Проверим условие:
— Яблони: \( \frac{4}{15} \cdot 180 = 48 \),
— Груши: \( \frac{5}{9} \cdot 180 = 100 \),
— Вишни: \( 180 — 48 — 100 = 32 \).

Все условия выполнены.

Ответ:
Всего в саду растёт 180 деревьев.