ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 223 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Для распечатки набора одной книги использовали \(\frac{17}{25}\) пачки бумаги, а для другой — \(\frac{5}{12}\) остатка. Сколько всего листов бумаги было в пачке, если после распечатки обоих наборов в пачке осталось 56 листов?

Пусть в пачке изначально было \( x \) листов бумаги.

1. Для первой книги использовали \( \frac{17}{25}x \).
2. Остаток после первой книги:
\[
x — \frac{17}{25}x = \frac{25x}{25} — \frac{17x}{25} = \frac{8x}{25}.
\]

3. Для второй книги использовали \( \frac{5}{12} \) от этого остатка:
\[
\frac{5}{12} \cdot \frac{8x}{25} = \frac{40x}{300} = \frac{2x}{15}.
\]

4. После распечатки обеих книг в пачке осталось 56 листов. Значит:
\[
x — \frac{17}{25}x — \frac{2x}{15} = 56.
\]

Шаг 1: Приведём к общему знаменателю
Общий знаменатель для дробей \( \frac{17}{25} \) и \( \frac{2}{15} \) равен 75. Запишем дроби с этим знаменателем:
\[
\frac{17}{25} = \frac{51}{75}, \quad \frac{2}{15} = \frac{10}{75}.
\]

Теперь уравнение становится:
\[
x — \frac{51}{75}x — \frac{10}{75}x = 56.
\]

Шаг 2: Упростим уравнение
Сложим дроби:
\[
\frac{51}{75}x + \frac{10}{75}x = \frac{61}{75}x.
\]

Тогда уравнение примет вид:
\[
x — \frac{61}{75}x = 56.
\]

Вычтем \( \frac{61}{75}x \) из \( x \):
\[
\frac{75}{75}x — \frac{61}{75}x = \frac{14}{75}x.
\]

Получаем:
\[
\frac{14}{75}x = 56.
\]

Шаг 3: Найдём \( x \)
Умножим обе стороны уравнения на 75, чтобы избавиться от знаменателя:
\[
14x = 56 \cdot 75.
\]

Выполним умножение:
\[
14x = 4200.
\]

Разделим обе стороны на 14:
\[
x = \frac{4200}{14} = 300.
\]

Ответ:
Всего в пачке было 300 листов бумаги.

Пусть в пачке изначально было \( x \) листов бумаги. По условию:
1. Для распечатки первой книги использовали \( \frac{17}{25} \) от всей пачки, то есть \( \frac{17}{25}x \).
2. После распечатки первой книги осталось:
\[
x — \frac{17}{25}x.
\]

Упростим это выражение:
\[
x — \frac{17}{25}x = \frac{25x}{25} — \frac{17x}{25} = \frac{8x}{25}.
\]

Значит, после первой книги в пачке осталось \( \frac{8x}{25} \) листов.

3. Для распечатки второй книги использовали \( \frac{5}{12} \) от оставшихся листов, то есть:
\[
\frac{5}{12} \cdot \frac{8x}{25}.
\]

Упростим это выражение:
\[
\frac{5}{12} \cdot \frac{8x}{25} = \frac{40x}{300}.
\]

Сократим дробь:
\[
\frac{40x}{300} = \frac{2x}{15}.
\]

Значит, для второй книги использовали \( \frac{2x}{15} \) листов.

4. После распечатки обеих книг в пачке осталось 56 листов. Это означает, что изначальное количество листов \( x \), за вычетом листов, использованных на первую и вторую книги, равно 56. Составим уравнение:
\[
x — \frac{17}{25}x — \frac{2x}{15} = 56.
\]

Шаг 1: Приведём дроби к общему знаменателю
Общий знаменатель для дробей \( \frac{17}{25} \) и \( \frac{2}{15} \) равен 75. Преобразуем дроби:
\[
\frac{17}{25} = \frac{51}{75}, \quad \frac{2}{15} = \frac{10}{75}.
\]

Теперь уравнение примет вид:
\[
x — \frac{51}{75}x — \frac{10}{75}x = 56.
\]

Шаг 2: Упростим уравнение
Сложим дроби \( \frac{51}{75}x \) и \( \frac{10}{75}x \):
\[
\frac{51}{75}x + \frac{10}{75}x = \frac{61}{75}x.
\]

Подставим это в уравнение:
\[
x — \frac{61}{75}x = 56.
\]

Вычтем \( \frac{61}{75}x \) из \( x \):
\[
x — \frac{61}{75}x = \frac{75}{75}x — \frac{61}{75}x = \frac{14}{75}x.
\]

Теперь уравнение выглядит так:
\[
\frac{14}{75}x = 56.
\]

Шаг 3: Найдём \( x \)
Чтобы найти \( x \), умножим обе стороны уравнения на 75, чтобы избавиться от знаменателя:
\[
14x = 56 \cdot 75.
\]

Выполним умножение:
\[
14x = 4200.
\]

Разделим обе стороны на 14:
\[
x = \frac{4200}{14}.
\]

Выполним деление:
\[
x = 300.
\]

Шаг 4: Проверка
Проверим, соответствует ли найденное значение условиям задачи:
1. Всего в пачке было \( x = 300 \) листов.
2. Для первой книги использовали \( \frac{17}{25} \cdot 300 \):
\[
\frac{17}{25} \cdot 300 = \frac{5100}{25} = 204 \, \text{листа}.
\]

После этого осталось:
\[
300 — 204 = 96 \, \text{листов}.
\]

3. Для второй книги использовали \( \frac{5}{12} \cdot 96 \):
\[
\frac{5}{12} \cdot 96 = \frac{480}{12} = 40 \, \text{листов}.
\]

После этого осталось:
\[
96 — 40 = 56 \, \text{листов}.
\]

Все условия задачи выполнены.

Ответ:
Всего в пачке было 300 листов бумаги.