ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 224 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Паша потратил на новые марки половину своих денег и еще \(\frac{4}{9}\) оставшихся денег. После этого у него осталось 15 р. Сколько рублей было у Паши сначала?

Пусть у Паши изначально было \( x \) рублей.

1. Сначала он потратил половину своих денег, то есть \( \frac{x}{2} \).
После этого у него осталось:
\[
x — \frac{x}{2} = \frac{x}{2}.
\]

2. Затем он потратил \( \frac{4}{9} \) от оставшихся денег, то есть \( \frac{4}{9} \cdot \frac{x}{2} = \frac{4x}{18} = \frac{2x}{9} \).
После этого у него осталось:
\[
\frac{x}{2} — \frac{2x}{9}.
\]

3. По условию, после всех трат у него осталось 15 рублей. Значит:
\[
\frac{x}{2} — \frac{2x}{9} = 15.
\]

Шаг 1: Приведём дроби к общему знаменателю
Общий знаменатель для дробей \( \frac{x}{2} \) и \( \frac{2x}{9} \) равен 18. Преобразуем дроби:
\[
\frac{x}{2} = \frac{9x}{18}, \quad \frac{2x}{9} = \frac{4x}{18}.
\]

Тогда уравнение примет вид:
\[
\frac{9x}{18} — \frac{4x}{18} = 15.
\]

Вычтем дроби:
\[
\frac{5x}{18} = 15.
\]

Шаг 2: Найдём \( x \)
Умножим обе стороны уравнения на 18, чтобы избавиться от знаменателя:
\[
5x = 15 \cdot 18.
\]

Выполним умножение:
\[
5x = 270.
\]

Разделим обе стороны на 5:
\[
x = \frac{270}{5} = 54.
\]

Ответ:
Изначально у Паши было 54 рубля.

Условие:
Паша потратил на покупку марок:
1. Сначала*половину своих денег.
2. Затем ещё \( \frac{4}{9} \) от оставшихся денег.
После этого у него осталось 15 рублей. Нужно найти, сколько рублей было у Паши изначально.

Обозначим:
Пусть у Паши изначально было \( x \) рублей.

Шаг 1: Сколько денег осталось после первой траты
Сначала Паша потратил половину своих денег, то есть \( \frac{x}{2} \). После этого у него осталось:
\[
x — \frac{x}{2}.
\]

Упростим это выражение:
\[
x — \frac{x}{2} = \frac{2x}{2} — \frac{x}{2} = \frac{x}{2}.
\]

Значит, после первой траты у Паши осталось \( \frac{x}{2} \) рублей.

Шаг 2: Сколько денег он потратил во второй раз
Во второй раз Паша потратил \( \frac{4}{9} \) от оставшихся денег. Осталось у него после первой траты \( \frac{x}{2} \), значит, он потратил:
\[
\frac{4}{9} \cdot \frac{x}{2}.
\]

Упростим это выражение:
\[
\frac{4}{9} \cdot \frac{x}{2} = \frac{4x}{18} = \frac{2x}{9}.
\]

Значит, во второй раз он потратил \( \frac{2x}{9} \) рублей.

Шаг 3: Сколько денег осталось после второй траты
После второй траты у Паши осталось:
\[
\frac{x}{2} — \frac{2x}{9}.
\]

Приведём дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для \( \frac{x}{2} \) и \( \frac{2x}{9} \) равен 18. Преобразуем дроби:
\[
\frac{x}{2} = \frac{9x}{18}, \quad \frac{2x}{9} = \frac{4x}{18}.
\]

Теперь вычтем:
\[
\frac{x}{2} — \frac{2x}{9} = \frac{9x}{18} — \frac{4x}{18} = \frac{5x}{18}.
\]

Значит, после второй траты у Паши осталось \( \frac{5x}{18} \) рублей.

Шаг 4: Составим уравнение
По условию, после всех трат у Паши осталось 15 рублей. Значит:
\[
\frac{5x}{18} = 15.
\]

Шаг 5: Решим уравнение
Чтобы найти \( x \), умножим обе стороны уравнения на 18, чтобы избавиться от знаменателя:
\[
5x = 15 \cdot 18.
\]

Выполним умножение:
\[
5x = 270.
\]

Теперь разделим обе стороны на 5:
\[
x = \frac{270}{5} = 54.
\]

Шаг 6: Проверка
Проверим, соответствует ли найденное значение условиям задачи:
1. Изначально у Паши было \( x = 54 \) рубля.
2. Сначала он потратил половину своих денег:
\[
\frac{54}{2} = 27 \, \text{рублей}.
\]

После этого у Паши осталось:
\[
54 — 27 = 27 \, \text{рублей}.
\]

3. Затем он потратил \( \frac{4}{9} \) от оставшихся денег:
\[
\frac{4}{9} \cdot 27 = \frac{108}{9} = 12 \, \text{рублей}.
\]

После этого у Паши осталось:
\[
27 — 12 = 15 \, \text{рублей}.
\]

Все условия задачи выполнены, значит, решение верное.

Ответ:
Изначально у Паши было 54 рубля.