ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 28 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Делится ли нацело на 5 значение выражения 11^5 + 6^5?

Решение:

1. Рассмотрим выражение \( 11^5 + 6^5 \) по модулю 5.
2. Найдём остатки от деления оснований на 5:
— \( 11 \mod 5 = 1 \),
— \( 6 \mod 5 = 1 \).

3. Теперь возведём остатки в степень 5:
— \( 1^5 = 1 \),
— \( 1^5 = 1 \).

4. Сложим результаты:
\[
11^5 + 6^5 \equiv 1 + 1 \equiv 2 \mod 5.
\]

5. Остаток от деления выражения на 5 равен 2, значит, \( 11^5 + 6^5 \) **не делится** нацело на 5.

Ответ: Не делится.

Задача:
Определить, делится ли нацело на 5 значение выражения \( 11^5 + 6^5 \).

Решение:

1. Определим остатки от деления оснований на 5:

Рассмотрим числа \( 11 \) и \( 6 \). Нам нужно найти их остатки при делении на 5:
— \( 11 \mod 5 = 1 \), так как \( 11 = 5 \times 2 + 1 \).
— \( 6 \mod 5 = 1 \), так как \( 6 = 5 \times 1 + 1 \).

Таким образом, числа \( 11 \) и \( 6 \) по модулю 5 эквивалентны числу \( 1 \).

2. Возведение в степень по модулю 5:

Теперь возведём остатки в пятую степень:
— \( 11^5 \mod 5 = (1^5) \mod 5 = 1 \),
— \( 6^5 \mod 5 = (1^5) \mod 5 = 1 \).

Таким образом, \( 11^5 \) и \( 6^5 \) при делении на 5 дают остаток \( 1 \).

3. Сложение результатов:

Сложим остатки по модулю 5:
\[
11^5 + 6^5 \equiv 1 + 1 \equiv 2 \pmod{5}.
\]

Остаток от деления суммы \( 11^5 + 6^5 \) на 5 равен \( 2 \).

4. Вывод:

Если остаток от деления числа на 5 не равен \( 0 \), то число не делится нацело на 5. В данном случае остаток равен \( 2 \), следовательно, \( 11^5 + 6^5 \) **не делится на 5**.

Проверка:

Для проверки мы можем рассмотреть свойства делимости. Если сумма \( 11^5 + 6^5 \) делилась бы на 5, то остаток от деления на 5 должен быть равен \( 0 \). Но мы получили остаток \( 2 \), что подтверждает наш вывод.

Ответ:
Значение выражения \( 11^5 + 6^5 \) **не делится нацело на 5**.