ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 69 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что числа 260 и 693 — взаимно простые.

Два числа являются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен \( 1 \).

Найдём НОД(260, 693) с помощью алгоритма Евклида:
1. \( 693 \div 260 = 2 \) (остаток \( 173 \)).
2. \( 260 \div 173 = 1 \) (остаток \( 87 \)).
3. \( 173 \div 87 = 1 \) (остаток \( 86 \)).
4. \( 87 \div 86 = 1 \) (остаток \( 1 \)).
5. \( 86 \div 1 = 86 \) (остаток \( 0 \)).

Последний ненулевой остаток — \( 1 \), значит, НОД(260, 693) = \( 1 \).

Вывод:
Числа \( 260 \) и \( 693 \) взаимно простые.

Два числа считаются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен \( 1 \). Чтобы доказать, что числа \( 260 \) и \( 693 \) взаимно простые, воспользуемся **алгоритмом Евклида**, который позволяет найти НОД двух чисел с помощью последовательного деления с остатком.

Применим алгоритм Евклида:
1. Разделим большее число (\( 693 \)) на меньшее (\( 260 \)) и найдём остаток:
\[
693 \div 260 = 2 \quad \text{(целая часть)}, \quad 693 — 260 \cdot 2 = 173 \quad \text{(остаток)}.
\]

То есть, \( 693 = 260 \cdot 2 + 173 \).

2. Теперь берём \( 260 \) и делим на \( 173 \):
\[
260 \div 173 = 1 \quad \text{(целая часть)}, \quad 260 — 173 \cdot 1 = 87 \quad \text{(остаток)}.
\]

То есть, \( 260 = 173 \cdot 1 + 87 \).

3. Далее делим \( 173 \) на \( 87 \):
\[
173 \div 87 = 1 \quad \text{(целая часть)}, \quad 173 — 87 \cdot 1 = 86 \quad \text{(остаток)}.
\]

То есть, \( 173 = 87 \cdot 1 + 86 \).

4. Затем делим \( 87 \) на \( 86 \):
\[
87 \div 86 = 1 \quad \text{(целая часть)}, \quad 87 — 86 \cdot 1 = 1 \quad \text{(остаток)}.
\]

То есть, \( 87 = 86 \cdot 1 + 1 \).

5. Наконец, делим \( 86 \) на \( 1 \):
\[
86 \div 1 = 86 \quad \text{(целая часть)}, \quad 86 — 1 \cdot 86 = 0 \quad \text{(остаток)}.
\]

Результат:
Последний ненулевой остаток равен \( 1 \). Это означает, что наибольший общий делитель чисел \( 260 \) и \( 693 \) равен \( 1 \):
\[
\text{НОД}(260, 693) = 1.
\]

Вывод:
Так как НОД равен \( 1 \), числа \( 260 \) и \( 693 \) являются взаимно простыми.