ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 70 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что числа 136 и 255 не являются взаимно простыми.

Два числа не являются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) больше \( 1 \). Для проверки найдем НОД(136, 255) с помощью алгоритма Евклида.

Применим алгоритм Евклида:
1. \( 255 \div 136 = 1 \) (остаток \( 119 \)).
\[
255 = 136 \cdot 1 + 119
\]

2. \( 136 \div 119 = 1 \) (остаток \( 17 \)).
\[
136 = 119 \cdot 1 + 17
\]

3. \( 119 \div 17 = 7 \) (остаток \( 0 \)).
\[
119 = 17 \cdot 7 + 0
\]

Последний ненулевой остаток равен \( 17 \). Значит, НОД(136, 255) = \( 17 \).

Вывод
Так как НОД(136, 255) = \( 17 \) (\( > 1 \)), числа \( 136 \) и \( 255 \) не являются взаимно простыми.

Два числа не являются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) больше \( 1 \). Чтобы доказать, что числа \( 136 \) и \( 255 \) не являются взаимно простыми, воспользуемся алгоритмом Евклида, который позволяет найти НОД двух чисел с помощью последовательного деления с остатком.

Применим алгоритм Евклида:
1. Разделим большее число (\( 255 \)) на меньшее (\( 136 \)) и найдём остаток:
\[
255 \div 136 = 1 \quad \text{(целая часть)}, \quad 255 — 136 \cdot 1 = 119 \quad \text{(остаток)}.
\]

То есть, \( 255 = 136 \cdot 1 + 119 \).

2. Теперь берём \( 136 \) и делим на \( 119 \):
\[
136 \div 119 = 1 \quad \text{(целая часть)}, \quad 136 — 119 \cdot 1 = 17 \quad \text{(остаток)}.
\]

То есть, \( 136 = 119 \cdot 1 + 17 \).

3. Далее делим \( 119 \) на \( 17 \):
\[
119 \div 17 = 7 \quad \text{(целая часть)}, \quad 119 — 17 \cdot 7 = 0 \quad \text{(остаток)}.
\]

То есть, \( 119 = 17 \cdot 7 + 0 \).

Результат:
Последний ненулевой остаток равен \( 17 \). Это означает, что наибольший общий делитель чисел \( 136 \) и \( 255 \) равен \( 17 \):
\[
\text{НОД}(136, 255) = 17.
\]

Вывод:
Так как НОД равен \( 17 \) (\( > 1 \)), числа \( 136 \) и \( 255 \) не являются взаимно простыми. Это значит, что у них есть общий делитель (в данном случае \( 17 \)).

Таким образом, доказано, что числа \( 136 \) и \( 255 \) не взаимно просты.