ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 3 Номер 410 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

На координатной прямой отметили числа а и Ь. Сравните эти числа и их модули

1)  a < b ;
|a| < |b| ;

2)  a > b ;
|a| < |b| ;

3)  a > b ;
|a| < |b| ;

На рисунке представлены три пары неравенств, сравнивающих два числа \( a \) и \( b \), а также их модули \( |a| \) и \( |b| \). Эти случаи показывают, что отношение между числами и отношение между их модулями — это разные понятия. Разберём каждый случай подробно.

Случай 1:

\[
a < b \quad \text{и} \quad |a| < |b|
\]

Что это означает?
— Число \( a \) меньше \( b \) — находится левее на координатной прямой.
— При этом расстояние от \( a \) до нуля меньше, чем от \( b \) — то есть \( a \) ближе к нулю.

Пример:

Пусть \( a = 3 \), \( b = 7 \)
— \( 3 < 7 \) — верно
— \( |3| = 3 < 7 = |7| \) — верно

Или: \( a = -4 \), \( b = 6 \)
— \( -4 < 6 \) — верно
— \( |-4| = 4 < 6 = |6| \) — верно

Это наиболее интуитивный случай: и порядок, и «удалённость» совпадают.

Возможно. Характерно для большинства положительных чисел.

Случай 2:

\[
a > b \quad \text{и} \quad |a| < |b|
\]

Что это означает?
— \( a \) больше \( b \), но при этом \( a \) ближе к нулю, чем \( b \).
— То есть \( b \) дальше от нуля, но в отрицательной области.

Это возможно, когда \( b \) — большое по модулю отрицательное число, а \( a \) — маленькое положительное или меньшее по модулю отрицательное.

Пример:

Пусть \( a = -2 \), \( b = -5 \)
— \( -2 > -5 \) — верно (на прямой −2 правее)
— \( |-2| = 2 < 5 = |-5| \) — верно

Ещё пример: \( a = 1 \), \( b = -8 \)
— \( 1 > -8 \) — верно
— \( |1| = 1 < 8 = |-8| \) — верно

Здесь важно понимать: большее число не обязательно имеет больший модуль.

Вполне возможно — особенно при сравнении чисел с разными знаками или двух отрицательных.

Случай 3:

\[
a > b \quad \text{и} \quad |a| < |b|
\]

> Этот случай идентичен второму по математическому содержанию.

Почему он повторяется?
Возможно, на рисунке он продублирован для демонстрации другого числового примера или чтобы подчеркнуть частоту такого явления.

Например:

— \( a = 0{,}1 \), \( b = -100 \)
— \( 0{,}1 > -100 \) — да
— \( |0{,}1| = 0{,}1 < 100 = |-100| \) — да

Такие ситуации часто встречаются в жизни:
> «Я должен 100 рублей» (\( -100 \)) — это хуже, чем «я получил 1 рубль» (\( 1 \)), даже если 1 < 100.