ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 3 Номер 423 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы
1. \(\frac{1}{m} + \frac{1}{n} + \frac{1}{k} = \frac{1}{m+n+k}\).
2. Не существует натуральных чисел \( m, n, k \), при которых выполняется данное равенство, так как при любых натуральных \( m, n, k \) выполняется неравенство:
\[
\frac{1}{m+n+k} < \frac{1}{m} + \frac{1}{n} + \frac{1}{k}.
\]
3. Ответ: не существует.
Условие:
Существуют ли натуральные числа \( m, n, k \), при которых выполняется равенство:
\[
\frac{1}{m} + \frac{1}{n} + \frac{1}{k} = \frac{1}{m+n+k}
\]
Если да — найдите такие числа. Если нет — докажите.
Шаг 1: Сравним левую и правую части
Рассмотрим левую часть:
\[
\frac{1}{m} + \frac{1}{n} + \frac{1}{k}
\]
Это сумма трёх положительных чисел (так как \( m, n, k \in \mathbb{N} \)).
Правая часть:
\[
\frac{1}{m+n+k}
\]
Так как \( m+n+k > m \), \( m+n+k > n \), \( m+n+k > k \), то:
\[
\frac{1}{m+n+k} < \frac{1}{m},\quad \frac{1}{m+n+k} < \frac{1}{n},\quad \frac{1}{m+n+k} < \frac{1}{k}
\]
Следовательно:
\[
\frac{1}{m+n+k} < \frac{1}{m},\quad \text{и аналогично для } n \text{ и } k
\]
Шаг 2: Оценим сумму обратных величин
Поскольку каждое слагаемое в левой части больше правой части, то и сумма:
\[
\frac{1}{m} + \frac{1}{n} + \frac{1}{k} > \frac{1}{m+n+k}
\]
Более того — даже одно слагаемое \( \frac{1}{m} > \frac{1}{m+n+k} \), а уж сумма трёх — тем более.
Таким образом, для любых натуральных \( m, n, k \):
\[
\frac{1}{m} + \frac{1}{n} + \frac{1}{k} > \frac{1}{m+n+k}
\]
Равенство невозможно.
Примеры для проверки
Пример 1: \( m = n = k = 1 \)
\[
\frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{1} = 3,\quad \frac{1}{1+1+1} = \frac{1}{3}
\]
\( 3 \ne \frac{1}{3} \) — не равно.
Пример 2: \( m = 2, n = 3, k = 6 \)
\[
\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3+2+1}{6} = 1,\quad \frac{1}{2+3+6} = \frac{1}{11}
\]
\( 1 \ne \frac{1}{11} \)
Пример 3: Большие числа: \( m = n = k = 10 \)
\[
\frac{1}{10} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = 0,3,\quad \frac{1}{30} \approx 0 ,033
\]
\( 0,3 > 0,033 \) — всё ещё больше.
Шаг 3: Формальное доказательство
Пусть \( m, n, k \in \mathbb{N} \), тогда:
\[
m+n+k > m \Rightarrow \frac{1}{m+n+k} < \frac{1}{m}
\]
Аналогично:
\[
\frac{1}{m+n+k} < \frac{1}{n},\quad \frac{1}{m+n+k} < \frac{1}{k}
\]
Сложим три неравенства:
\[
\frac{3}{m+n+k} < \frac{1}{m} + \frac{1}{n} + \frac{1}{k} \] Но даже без этого — одно слагаемое уже больше правой части, а уж сумма трёх — тем более: \[ \frac{1}{m} + \frac{1}{n} + \frac{1}{k} > \frac{1}{m+n+k}
\]
Следовательно, равенство невозможно.
Не существует натуральных чисел \( m, n, k \), при которых выполняется равенство:
\frac{1}{m} + \frac{1}{n} + \frac{1}{k} = \frac{1}{m+n+k}
\]
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.