ГДЗ по Математике 6 Класс Номер 1237 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

В вершинах куба записаны восемь различных чисел.
Докажите, что хотя бы одно из них меньше среднего арифметического трёх соседних чисел (соседними называют числа, записанные на концах одного ребра).

Пусть числа в вершинах куба — \(a_1, a_2, \ldots, a_8\).

Предположим противное:
Каждое число не меньше среднего арифметического трёх своих соседей.

Тогда для любой вершины \(a_i\):
\(
a_i \geq \frac{a_j + a_k + a_l}{3}
\)
(где \(a_j, a_k, a_l\) — её соседи).

Сложим такие неравенства по всем вершинам:
\(
\sum_{i=1}^8 a_i \geq \frac{1}{3} \sum_{i=1}^8 (a_{j(i)} + a_{k(i)} + a_{l(i)})
\)

Каждое число входит в сумму соседей ровно 3 раза (в кубе у каждой вершины 3 соседа, а всего 8 вершин):

\(
\sum_{i=1}^8 (a_{j(i)} + a_{k(i)} + a_{l(i)}) = 3 \sum_{i=1}^8 a_i
\)

Подставим:

\(
\sum_{i=1}^8 a_i \geq \frac{1}{3} \cdot 3 \sum_{i=1}^8 a_i = \sum_{i=1}^8 a_i
\)

Значит, в каждом неравенстве была равенство, то есть все числа равны средним своих соседей. Но числа все разные!
Противоречие.

Значит, хотя бы одно число меньше среднего арифметического трёх соседей.

Условие:
В вершинах куба записаны 8 различных чисел.
Докажите, что хотя бы одно из них меньше среднего арифметического трёх соседей (соседями называют числа на концах одного ребра).

Решение

1. Обозначения

Пусть вершины куба обозначены \( A_1, A_2, \ldots, A_8 \), а в них записаны числа \( a_1, a_2, \ldots, a_8 \).

Для каждой вершины \( A_i \) её соседями являются три другие вершины, соединённые с ней рёбрами куба. Обозначим их как \( a_{j(i)}, a_{k(i)}, a_{l(i)} \).

2. Предположим противное (от противного)

Пусть утверждение неверно:
Для каждой вершины её число не меньше среднего арифметического трёх соседей, то есть:
\(
a_i \geq \frac{a_{j(i)} + a_{k(i)} + a_{l(i)}}{3}
\)
для всех \( i = 1, 2, \ldots, 8 \).

3. Сложим все неравенства

Сложим эти неравенства по всем вершинам:
\(
\sum_{i=1}^8 a_i \geq \sum_{i=1}^8 \frac{a_{j(i)} + a_{k(i)} + a_{l(i)}}{3}
\)
\(
\sum_{i=1}^8 a_i \geq \frac{1}{3} \sum_{i=1}^8 (a_{j(i)} + a_{k(i)} + a_{l(i)})
\)

4. Посчитаем, сколько раз каждое число входит в правую сумму

Каждое число \( a_m \) (где \( m = 1, 2, …, 8 \)) является соседом у трёх других вершин (в кубе у каждой вершины три соседа, и у каждого числа три «соседства» с другими вершинами).

Значит, при суммировании по всем вершинам, каждое число \( a_m \) войдёт в правую часть ровно 3 раза:
\(
\sum_{i=1}^8 (a_{j(i)} + a_{k(i)} + a_{l(i)}) = 3(a_1 + a_2 + \ldots + a_8) = 3S
\)
где \( S = a_1 + a_2 + \ldots + a_8 \).

5. Подставим и упростим

Подставим в неравенство:
\(
\sum_{i=1}^8 a_i \geq \frac{1}{3} \cdot 3S
\)
\(
S \geq S
\)

6. Когда достигается равенство?

Равенство возможно только если в каждом неравенстве было равенство, то есть:
\(
a_i = \frac{a_{j(i)} + a_{k(i)} + a_{l(i)}}{3}
\)
для всех \( i \).

Это возможно только если все числа равны (иначе невозможно, чтобы каждое число было средним своих трёх различных соседей).

 7. Но числа различные!

По условию задачи, все числа разные.
Значит, наше предположение неверно.

Вывод

Обязательно найдётся хотя бы одна вершина, в которой записано число меньше среднего арифметического трёх его соседей.

Это и требовалось доказать.