Учебник «Математика» для 6-го класса, написанный Мерзляком и Полонским, стал неотъемлемой частью образовательного процесса для многих школьников. Он предлагает доступное и увлекательное изложение материала, что делает изучение математики интересным и познавательным.
1) Структурированность: Учебник разделен на логические разделы и темы, что позволяет легко ориентироваться в материале. Каждая глава начинается с краткого введения, которое помогает ученикам понять, что они будут изучать.
2) Разнообразие задач: В книге представлено множество упражнений различной сложности. Это позволяет учителю адаптировать задания под уровень подготовки каждого ученика, а также развивает критическое мышление.
3) Иллюстрации и графика: Учебник содержит яркие иллюстрации и схемы, которые помогают визуализировать математические концепции. Это особенно полезно для наглядного восприятия информации.
4) Практические примеры: Каждый раздел включает в себя примеры из реальной жизни, что делает математику более актуальной и понятной. Ученики могут увидеть, как математические знания применяются в повседневной жизни.
5) Дополнительные материалы: В конце каждой главы есть разделы с дополнительными заданиями и вопросами для самопроверки. Это позволяет ученикам закрепить изученный материал и подготовиться к контрольным работам.
Учебник «Математика» Мерзляка и Полонского — это не просто пособие для изучения предмета, а целый мир, в который ученики погружаются, открывая для себя удивительный мир чисел и форм. Он помогает развивать не только математические навыки, но и логическое мышление, что является важным аспектом образования.
ГДЗ по Математике 6 Класс Номер 1438 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы
Постройте окружность с центром в точке M (3; 2), проходящую через точку K (2; –1). Какие из точек принадлежат окружности: A (2; 5), B (0; 3), C (1; –1), D (3; –2), E (4; –1), F (5; 0)?
1. Уравнение окружности
Центр окружности \(M(3; 2)\), радиус \(R\) определяется как расстояние между точками \(M(3; 2)\) и \(K(2; -1)\):
\[
R = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2} =
\]
\[
= \sqrt{(2 — 3)^2 + (-1 — 2)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}.
\]
Уравнение окружности:
\[
(x — 3)^2 + (y — 2)^2 = 10.
\]
2. Проверка точек
Для каждой точки проверяем, удовлетворяет ли она уравнению окружности, подставляя её координаты:
— A (2; 5):
\[
(2 — 3)^2 + (5 — 2)^2 = 1 + 9 = 10 \quad \Rightarrow \text{принадлежит}.
\]
— B (0; 3):
\[
(0 — 3)^2 + (3 — 2)^2 = 9 + 1 = 10 \quad \Rightarrow \text{принадлежит}.
\]
— C (1; -1):
\[
(1 — 3)^2 + (-1 — 2)^2 = 4 + 9 = 13 \quad \Rightarrow \text{не принадлежит}.
\]
— D (3; -2):
\[
(3 — 3)^2 + (-2 — 2)^2 = 0 + 16 = 16 \quad \Rightarrow \text{не принадлежит}.
\]
— E (4; -1):
\[
(4 — 3)^2 + (-1 — 2)^2 = 1 + 9 = 10 \quad \Rightarrow \text{принадлежит}.
\]
— F (5; 0):
\[
(5 — 3)^2 + (0 — 2)^2 = 4 + 4 = 8 \quad \Rightarrow \text{не принадлежит}.
\]
Ответ: Точки \(A (2; 5)\), \(B (0; 3)\) и \(E (4; -1)\) принадлежат окружности.
1. Уравнение окружности
Центр окружности — точка \(M(3; 2)\). Радиус окружности \(R\) — это расстояние между центром \(M(3; 2)\) и точкой \(K(2; -1)\), через которую проходит окружность. Вычислим радиус с помощью формулы расстояния между двумя точками:
\[
R = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2}.
\]
Подставим координаты \(M(3; 2)\) и \(K(2; -1)\):
\[
R = \sqrt{(2 — 3)^2 + (-1 — 2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}.
\]
Уравнение окружности с центром в точке \(M(3; 2)\) и радиусом \(R = \sqrt{10}\) имеет вид:
\[
(x — 3)^2 + (y — 2)^2 = 10.
\]
Теперь проверим, принадлежат ли заданные точки окружности, подставляя их координаты в уравнение.
2. Проверка точек
Для каждой точки \(P(x; y)\) проверяем, выполняется ли уравнение окружности:
\[
(x — 3)^2 + (y — 2)^2 = 10.
\]
Точка A (2; 5):
Подставляем \(x = 2\), \(y = 5\):
\[
(2 — 3)^2 + (5 — 2)^2 = (-1)^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10.
\]
Уравнение выполняется, значит, точка \(A(2; 5)\) принадлежит окружности.
Точка B (0; 3):
Подставляем \(x = 0\), \(y = 3\):
\[
(0 — 3)^2 + (3 — 2)^2 = (-3)^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10.
\]
Уравнение выполняется, значит, точка \(B(0; 3)\) принадлежит окружности.
Точка C (1; -1):
Подставляем \(x = 1\), \(y = -1\):
\[
(1 — 3)^2 + (-1 — 2)^2 = (-2)^2 + (-3)^2 = 4 + 9 = 13.
\]
Уравнение не выполняется, значит, точка \(C(1; -1)\) не принадлежит окружности.
Точка D (3; -2):
Подставляем \(x = 3\), \(y = -2\):
\[
(3 — 3)^2 + (-2 — 2)^2 = 0^2 + (-4)^2 = 0 + 16 = 16.
\]
Уравнение не выполняется, значит, точка \(D(3; -2)\) не принадлежит окружности.
Точка E (4; -1):
Подставляем \(x = 4\), \(y = -1\):
\[
(4 — 3)^2 + (-1 — 2)^2 = (1)^2 + (-3)^2 = 1 + 9 = 10.
\]
Уравнение выполняется, значит, точка \(E(4; -1)\) принадлежит окружности.
Точка F (5; 0):
Подставляем \(x = 5\), \(y = 0\):
\[
(5 — 3)^2 + (0 — 2)^2 = (2)^2 + (-2)^2 = 4 + 4 = 8.
\]
Уравнение не выполняется, значит, точка \(F(5; 0)\) не принадлежит окружности.
Итоговый ответ:
Точки, принадлежащие окружности:
A (2; 5), B (0; 3), E (4; -1).
Математика
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.