Учебник «Математика» для 6-го класса, написанный Мерзляком и Полонским, стал неотъемлемой частью образовательного процесса для многих школьников. Он предлагает доступное и увлекательное изложение материала, что делает изучение математики интересным и познавательным.
1) Структурированность: Учебник разделен на логические разделы и темы, что позволяет легко ориентироваться в материале. Каждая глава начинается с краткого введения, которое помогает ученикам понять, что они будут изучать.
2) Разнообразие задач: В книге представлено множество упражнений различной сложности. Это позволяет учителю адаптировать задания под уровень подготовки каждого ученика, а также развивает критическое мышление.
3) Иллюстрации и графика: Учебник содержит яркие иллюстрации и схемы, которые помогают визуализировать математические концепции. Это особенно полезно для наглядного восприятия информации.
4) Практические примеры: Каждый раздел включает в себя примеры из реальной жизни, что делает математику более актуальной и понятной. Ученики могут увидеть, как математические знания применяются в повседневной жизни.
5) Дополнительные материалы: В конце каждой главы есть разделы с дополнительными заданиями и вопросами для самопроверки. Это позволяет ученикам закрепить изученный материал и подготовиться к контрольным работам.
Учебник «Математика» Мерзляка и Полонского — это не просто пособие для изучения предмета, а целый мир, в который ученики погружаются, открывая для себя удивительный мир чисел и форм. Он помогает развивать не только математические навыки, но и логическое мышление, что является важным аспектом образования.
ГДЗ по Математике 6 Класс Номер 1505 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы
Стороны прямоугольника равны 20 см и 10 см. Одну сторону увеличили на 20 %, а соседнюю уменьшили на 20 %. Увеличилась или уменьшилась площадь прямоугольника и на сколько процентов? Имеет ли значение, какую сторону увеличили, а какую уменьшили? Ответ обоснуйте, решив задачу в общем виде.
1. Найдём исходную площадь прямоугольника:
Стороны прямоугольника равны \(a = 20 \, \text{см}\) и \(b = 10 \, \text{см}\). Площадь равна:
\[
S_{\text{исх}} = a \cdot b = 20 \cdot 10 = 200 \, \text{см}^2.
\]
2. Изменение сторон:
— Одну сторону увеличили на 20%, то есть новая длина первой стороны:
\[
a_{\text{нов}} = a \cdot (1 + 0{,}2) = a \cdot 1{,}2.
\]
— Другую сторону уменьшили на 20%, то есть новая длина второй стороны:
\[
b_{\text{нов}} = b \cdot (1 — 0{,}2) = b \cdot 0{,}8.
\]
3. Новая площадь прямоугольника:
Новая площадь равна:
\[
S_{\text{нов}} = a_{\text{нов}} \cdot b_{\text{нов}} = (a \cdot 1{,}2) \cdot (b \cdot 0{,}8) = a \cdot b \cdot 1{,}2 \cdot 0{,}8.
\]
Подставим \(a \cdot b = 200\):
\[
S_{\text{нов}} = 200 \cdot 1{,}2 \cdot 0{,}8 = 200 \cdot 0{,}96 = 192 \, \text{см}^2.
\]
4. Изменение площади:
Разница между новой и исходной площадью:
\[
\Delta S = S_{\text{нов}} — S_{\text{исх}} = 192 — 200 = -8 \, \text{см}^2.
\]
Площадь уменьшилась на 8 см². В процентах это:
\[
\frac{\Delta S}{S_{\text{исх}}} \cdot 100 = \frac{-8}{200} \cdot 100 = -4\%.
\]
5. Имеет ли значение, какую сторону увеличили, а какую уменьшили?
Нет, значения не имеет. Формула для новой площади симметрична:
\[
S_{\text{нов}} = a \cdot b \cdot 1{,}2 \cdot 0{,}8 = a \cdot b \cdot 0{,}96.
\]
Так как произведение коэффициентов изменения сторон (\(1{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}96\)) одинаково, результат будет одинаковым независимо от того, какую сторону увеличили, а какую уменьшили.
Ответ:
1. Площадь прямоугольника уменьшилась на 4%.
2. Не имеет значения, какую сторону увеличили, а какую уменьшили.
Условие:
Дан прямоугольник со сторонами \(a = 20 \, \text{см}\) и \(b = 10 \, \text{см}\). Одну сторону увеличили на 20%, а соседнюю уменьшили на 20%. Необходимо определить:
1. Увеличилась или уменьшилась площадь прямоугольника и на сколько процентов.
2. Имеет ли значение, какую сторону увеличили, а какую уменьшили.
1. Исходная площадь прямоугольника:
Площадь прямоугольника вычисляется по формуле:
\[
S_{\text{исх}} = a \cdot b.
\]
Подставим значения сторон:
\[
S_{\text{исх}} = 20 \cdot 10 = 200 \, \text{см}^2.
\]
Итак, исходная площадь равна \(200 \, \text{см}^2\).
2. Изменение сторон:
— Одну сторону увеличили на 20%. Новая длина этой стороны:
\[
a_{\text{нов}} = a \cdot (1 + 0{,}2) = a \cdot 1{,}2.
\]
— Другую сторону уменьшили на 20%. Новая длина этой стороны:
\[
b_{\text{нов}} = b \cdot (1 — 0{,}2) = b \cdot 0{,}8.
\]
3. Новая площадь прямоугольника:
Площадь прямоугольника после изменения сторон вычисляется по формуле:
\[
S_{\text{нов}} = a_{\text{нов}} \cdot b_{\text{нов}} = (a \cdot 1{,}2) \cdot (b \cdot 0{,}8).
\]
Раскроем скобки:
\[
S_{\text{нов}} = a \cdot b \cdot 1{,}2 \cdot 0{,}8.
\]
Подставим значение исходной площади (\(a \cdot b = 200\)):
\[
S_{\text{нов}} = 200 \cdot 1{,}2 \cdot 0{,}8 = 200 \cdot 0{,}96 = 192 \, \text{см}^2.
\]
4. Изменение площади:
Теперь найдём разницу между новой и исходной площадью:
\[
\Delta S = S_{\text{нов}} — S_{\text{исх}} = 192 — 200 = -8 \, \text{см}^2.
\]
Площадь уменьшилась на 8 см².
Чтобы найти изменение площади в процентах, используем формулу:
\[
\Delta S_{\%} = \frac{\Delta S}{S_{\text{исх}}} \cdot 100.
\]
Подставим значения:
\[
\Delta S_{\%} = \frac{-8}{200} \cdot 100 = -4\%.
\]
Таким образом, площадь уменьшилась на 4%.
5. Имеет ли значение, какую сторону увеличили, а какую уменьшили?
Рассмотрим формулу для новой площади:
\[
S_{\text{нов}} = a \cdot b \cdot 1{,}2 \cdot 0{,}8.
\]
Заметим, что произведение коэффициентов изменения сторон равно:
\[
1{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}96.
\]
Это произведение одинаково независимо от того, какую сторону увеличили, а какую уменьшили. Следовательно, результат не зависит от того, какую сторону увеличивают, а какую уменьшают.
6. Решение в общем виде:
Рассмотрим стороны прямоугольника как \(a\) и \(b\). Пусть одну сторону увеличивают на \(p\%\), а другую уменьшают на \(q\%\). Тогда:
— Новая длина первой стороны: \(a_{\text{нов}} = a \cdot (1 + \frac{p}{100})\),
— Новая длина второй стороны: \(b_{\text{нов}} = b \cdot (1 — \frac{q}{100})\).
Новая площадь:
\[
S_{\text{нов}} = a_{\text{нов}} \cdot b_{\text{нов}} = a \cdot b \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) \cdot \left(1 — \frac{q}{100}\right).
\]
Раскроем скобки:
\[
S_{\text{нов}} = a \cdot b \cdot \left(1 + \frac{p}{100} — \frac{q}{100} — \frac{p}{100} \cdot \frac{q}{100}\right).
\]
Изменение площади:
\[
\Delta S = S_{\text{нов}} — S_{\text{исх}} = a \cdot b \cdot \left(- \frac{p}{100} \cdot \frac{q}{100}\right).
\]
Так как \(- \frac{p}{100} \cdot \frac{q}{100}\) всегда отрицательно, площадь всегда уменьшается. При этом результат зависит только от произведения коэффициентов изменения сторон (\(p\%\) и \(q\%\)), а не от того, какая сторона увеличивается или уменьшается.
Ответ:
1. Площадь прямоугольника уменьшилась на 4%.
2. Не имеет значения, какую сторону увеличили, а какую уменьшили, так как результат определяется только произведением коэффициентов изменения сторон.
Математика
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.