ГДЗ по Математике 6 Класс Номер 1505 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Стороны прямоугольника равны 20 см и 10 см. Одну сторону увеличили на 20 %, а соседнюю уменьшили на 20 %. Увеличилась или уменьшилась площадь прямоугольника и на сколько процентов? Имеет ли значение, какую сторону увеличили, а какую уменьшили? Ответ обоснуйте, решив задачу в общем виде.

1. Найдём исходную площадь прямоугольника:
Стороны прямоугольника равны \(a = 20 \, \text{см}\) и \(b = 10 \, \text{см}\). Площадь равна:

\[
S_{\text{исх}} = a \cdot b = 20 \cdot 10 = 200 \, \text{см}^2.
\]

2. Изменение сторон:
— Одну сторону увеличили на 20%, то есть новая длина первой стороны:

\[
a_{\text{нов}} = a \cdot (1 + 0{,}2) = a \cdot 1{,}2.
\]

— Другую сторону уменьшили на 20%, то есть новая длина второй стороны:

\[
b_{\text{нов}} = b \cdot (1 — 0{,}2) = b \cdot 0{,}8.
\]

3. Новая площадь прямоугольника:
Новая площадь равна:

\[
S_{\text{нов}} = a_{\text{нов}} \cdot b_{\text{нов}} = (a \cdot 1{,}2) \cdot (b \cdot 0{,}8) = a \cdot b \cdot 1{,}2 \cdot 0{,}8.
\]

Подставим \(a \cdot b = 200\):

\[
S_{\text{нов}} = 200 \cdot 1{,}2 \cdot 0{,}8 = 200 \cdot 0{,}96 = 192 \, \text{см}^2.
\]

4. Изменение площади:
Разница между новой и исходной площадью:

\[
\Delta S = S_{\text{нов}} — S_{\text{исх}} = 192 — 200 = -8 \, \text{см}^2.
\]

Площадь уменьшилась на 8 см². В процентах это:

\[
\frac{\Delta S}{S_{\text{исх}}} \cdot 100 = \frac{-8}{200} \cdot 100 = -4\%.
\]

5. Имеет ли значение, какую сторону увеличили, а какую уменьшили?
Нет, значения не имеет. Формула для новой площади симметрична:

\[
S_{\text{нов}} = a \cdot b \cdot 1{,}2 \cdot 0{,}8 = a \cdot b \cdot 0{,}96.
\]

Так как произведение коэффициентов изменения сторон (\(1{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}96\)) одинаково, результат будет одинаковым независимо от того, какую сторону увеличили, а какую уменьшили.

Ответ:
1. Площадь прямоугольника уменьшилась на 4%.
2. Не имеет значения, какую сторону увеличили, а какую уменьшили.

Условие:
Дан прямоугольник со сторонами \(a = 20 \, \text{см}\) и \(b = 10 \, \text{см}\). Одну сторону увеличили на 20%, а соседнюю уменьшили на 20%. Необходимо определить:
1. Увеличилась или уменьшилась площадь прямоугольника и на сколько процентов.
2. Имеет ли значение, какую сторону увеличили, а какую уменьшили.

1. Исходная площадь прямоугольника:
Площадь прямоугольника вычисляется по формуле:

\[
S_{\text{исх}} = a \cdot b.
\]

Подставим значения сторон:

\[
S_{\text{исх}} = 20 \cdot 10 = 200 \, \text{см}^2.
\]

Итак, исходная площадь равна \(200 \, \text{см}^2\).

2. Изменение сторон:
— Одну сторону увеличили на 20%. Новая длина этой стороны:

\[
a_{\text{нов}} = a \cdot (1 + 0{,}2) = a \cdot 1{,}2.
\]

— Другую сторону уменьшили на 20%. Новая длина этой стороны:

\[
b_{\text{нов}} = b \cdot (1 — 0{,}2) = b \cdot 0{,}8.
\]

3. Новая площадь прямоугольника:
Площадь прямоугольника после изменения сторон вычисляется по формуле:

\[
S_{\text{нов}} = a_{\text{нов}} \cdot b_{\text{нов}} = (a \cdot 1{,}2) \cdot (b \cdot 0{,}8).
\]

Раскроем скобки:

\[
S_{\text{нов}} = a \cdot b \cdot 1{,}2 \cdot 0{,}8.
\]

Подставим значение исходной площади (\(a \cdot b = 200\)):

\[
S_{\text{нов}} = 200 \cdot 1{,}2 \cdot 0{,}8 = 200 \cdot 0{,}96 = 192 \, \text{см}^2.
\]

4. Изменение площади:
Теперь найдём разницу между новой и исходной площадью:

\[
\Delta S = S_{\text{нов}} — S_{\text{исх}} = 192 — 200 = -8 \, \text{см}^2.
\]

Площадь уменьшилась на 8 см².

Чтобы найти изменение площади в процентах, используем формулу:

\[
\Delta S_{\%} = \frac{\Delta S}{S_{\text{исх}}} \cdot 100.
\]

Подставим значения:

\[
\Delta S_{\%} = \frac{-8}{200} \cdot 100 = -4\%.
\]

Таким образом, площадь уменьшилась на 4%.

5. Имеет ли значение, какую сторону увеличили, а какую уменьшили?
Рассмотрим формулу для новой площади:

\[
S_{\text{нов}} = a \cdot b \cdot 1{,}2 \cdot 0{,}8.
\]

Заметим, что произведение коэффициентов изменения сторон равно:

\[
1{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}96.
\]

Это произведение одинаково независимо от того, какую сторону увеличили, а какую уменьшили. Следовательно, результат не зависит от того, какую сторону увеличивают, а какую уменьшают.

6. Решение в общем виде:
Рассмотрим стороны прямоугольника как \(a\) и \(b\). Пусть одну сторону увеличивают на \(p\%\), а другую уменьшают на \(q\%\). Тогда:
— Новая длина первой стороны: \(a_{\text{нов}} = a \cdot (1 + \frac{p}{100})\),
— Новая длина второй стороны: \(b_{\text{нов}} = b \cdot (1 — \frac{q}{100})\).

Новая площадь:

\[
S_{\text{нов}} = a_{\text{нов}} \cdot b_{\text{нов}} = a \cdot b \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) \cdot \left(1 — \frac{q}{100}\right).
\]

Раскроем скобки:

\[
S_{\text{нов}} = a \cdot b \cdot \left(1 + \frac{p}{100} — \frac{q}{100} — \frac{p}{100} \cdot \frac{q}{100}\right).
\]

Изменение площади:

\[
\Delta S = S_{\text{нов}} — S_{\text{исх}} = a \cdot b \cdot \left(- \frac{p}{100} \cdot \frac{q}{100}\right).
\]

Так как \(- \frac{p}{100} \cdot \frac{q}{100}\) всегда отрицательно, площадь всегда уменьшается. При этом результат зависит только от произведения коэффициентов изменения сторон (\(p\%\) и \(q\%\)), а не от того, какая сторона увеличивается или уменьшается.

Ответ:
1. Площадь прямоугольника уменьшилась на 4%.
2. Не имеет значения, какую сторону увеличили, а какую уменьшили, так как результат определяется только произведением коэффициентов изменения сторон.