ГДЗ по Математике 6 Класс Номер 1515 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Постройте квадрат ABCD, сторона которого равна 2 см. Через вершину D проведите прямую, параллельную прямой АС. Постройте фигуру, симметричную данному квадрату относительно проведённой прямой.

Построение квадрата и симметрии относительно прямой:

1. Построение квадрата ABCD с длиной стороны 2 см:

1. Начните с точки \(A\):
— Выберите начальную точку \(A\) на плоскости. Пусть её координаты будут \((0, 0)\).

2. Постройте точку \(B\):
— Точка \(B\) должна находиться на горизонтальной линии на расстоянии 2 см от \(A\). Координаты \(B\): \((2, 0)\).

3. Постройте точку \(D\):
— Точка \(D\) должна находиться вертикально вверх от \(A\) на расстоянии 2 см. Координаты \(D\): \((0, 2)\).

4. Постройте точку \(C\):
— Точка \(C\) должна быть на расстоянии 2 см от \(B\) вертикально вверх. Координаты \(C\): \((2, 2)\).

5. Соедините точки \(A, B, C, D\):
— Полученный квадрат \(ABCD\) имеет стороны длиной 2 см.

2. Проведение прямой через вершину \(D\), параллельной диагонали \(AC\):

1. Определите уравнение прямой \(AC\):
— Диагональ \(AC\) проходит через точки \(A(0, 0)\) и \(C(2, 2)\). Уравнение прямой:
\[
y = x.
\]

2. Прямая, параллельная \(AC\), через точку \(D(0, 2)\):
— Прямая, параллельная \(y = x\), будет иметь тот же угол наклона (коэффициент углового наклона \(k = 1\)), но пересекать ось \(y\) в точке \(y = 2\). Уравнение прямой:
\[
y = x + 2.
\]

3. Построение фигуры, симметричной квадрату \(ABCD\) относительно прямой \(y = x + 2\):

Чтобы построить симметричную фигуру, нужно отразить каждую вершину квадрата относительно прямой \(y = x + 2\). Используем формулы отражения точки относительно прямой.

1. Формула отражения точки относительно прямой:
— Для прямой \(y = mx + b\) и точки \((x_1, y_1)\), координаты отражённой точки \((x’, y’)\) вычисляются по формулам:
\[
x’ = \frac{x_1 — m(y_1 — b)}{1 + m^2}, \quad y’ = \frac{m(x_1 + m y_1) + b}{1 + m^2}.
\]

— В нашем случае \(m = 1\), \(b = 2\).

2. Отражение каждой вершины квадрата:
— Точка \(A(0, 0)\):
\[
x’ = \frac{0 — 1(0 — 2)}{1 + 1^2} = \frac{-2}{2} = -1, \quad y’ = \frac{1(0 + 1\cdot0) + 2}{2} = 1.
\]

Отражённая точка \(A'( -1, 1)\).

— Точка \(B(2, 0)\):
\[
x’ = \frac{2 — 1(0 — 2)}{1 + 1^2} = \frac{4}{2} = 2, \quad y’ = \frac{1(2 + 1\cdot0) + 2}{2} = 2.
\]

Отражённая точка \(B'(2, 2)\).

— Точка \(C(2, 2)\):
\[
x’ = \frac{2 — 1(2 — 2)}{1 + 1^2} = \frac{2}{2} = 1, \quad y’ = \frac{1(2 + 1\cdot2) + 2}{2} = 3.
\]

Отражённая точка \(C'(1, 3)\).

— Точка \(D(0, 2)\):
\[
x’ = \frac{0 — 1(2 — 2)}{1 + 1^2} = 0, \quad y’ = \frac{1(0 + 1\cdot2) + 2}{2} = 2.
\]

Отражённая точка \(D'(0, 2)\) совпадает с самой собой (так как \(D\) лежит на прямой).

4. Построение симметричного квадрата:

1. Постройте точки \(A'(-1, 1)\), \(B'(2, 2)\), \(C'(1, 3)\), \(D'(0, 2)\).
2. Соедините их в том же порядке, что и исходный квадрат \(A, B, C, D\).
3. Полученная фигура — это квадрат, симметричный исходному относительно прямой \(y = x + 2\).

Итог:
— Исходный квадрат \(ABCD\) построен с длиной стороны 2 см.
— Проведена прямая \(y = x + 2\) через вершину \(D\), параллельная диагонали \(AC\).
— Построен симметричный квадрат \(A’B’C’D’\) относительно этой прямой.