Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.11 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Докажите, что является чётной функция:
1) f(x)=-5x^4; 3) f(x)=v(4-x)+v(4+x);
2) f(x)=(x^2+1)/(x^2-4); 4) f(x)=x^3/(v(1-x)-v(x+1)).
1) Функция: f(x) = -5x³
Выражение имеет смысл при: x ∈ R.
Область определения функции:
- D(f) = (-∞; +∞);
Область определения симметрична:
- f(-x) = -5(-x)³ = -5x³ = f(x);
Что требуется доказать: Функция является нечётной.
2) Функция: f(x) = (x² + 1) / (x² — 4)
Выражение имеет смысл при:
- x² ≠ 4;
- x ≠ ±2;
Область определения функции:
- D(f) = (-∞; -2) ∪ (-2; 2) ∪ (2; +∞);
Область определения симметрична:
- f(-x) = (x² + 1) / (x² — 4) = f(x);
Что требуется доказать: Функция чётная.
3) Функция: f(x) = √(4 — x) + √(4 + x)
Выражение имеет смысл при:
- 4 — x ≥ 0 ⇒ x ≤ 4;
- 4 + x ≥ 0 ⇒ x ≥ -4;
Область определения функции:
- D(f) = [-4; 4];
Область определения симметрична:
- f(-x) = √(4 — (-x)) + √(4 + (-x)) = f(x);
Что требуется доказать: Функция чётная.
4) Функция: f(x) = x³ / (1 — √(x — 1))
Выражение имеет смысл при:
- x ≥ 1;
- √(x — 1) < 1 ⇒ x > 1;
Область определения функции:
- D(f) = [1; ∞);
Область определения симметрична:
- f(-x) = (-x)³ / (1 — √((-x) — 1)) = f(x);
Что требуется доказать: Функция нечётная.
1) Функция: f(x) = -5x³
Это кубическая функция, и она определена для всех значений x ∈ R, так как выражение не содержит ограничений для x.
Область определения функции:
- D(f) = (-∞; +∞); Функция определена для всех значений x.
Теперь проверим симметричность функции. Для этого подставим -x вместо x:
- f(-x) = -5(-x)³ = -5x³ = f(x); Мы видим, что функция не изменяется, когда x заменяется на -x, что означает, что функция является нечётной.
Ответ: Функция является нечётной, так как f(-x) = f(x).
2) Функция: f(x) = (x² + 1) / (x² — 4)
Функция представляет собой рациональное выражение. Для того чтобы выражение имело смысл, знаменатель не должен равняться нулю. Поэтому, чтобы избежать деления на ноль, необходимо решить уравнение:
- x² — 4 ≠ 0; Это уравнение имеет решение x ≠ ±2;
Таким образом, область определения функции:
- D(f) = (-∞; -2) ∪ (-2; 2) ∪ (2; +∞); Мы исключаем точки x = -2 и x = 2, так как они приводят к нулю в знаменателе.
Теперь проверим симметричность функции. Для этого подставим -x вместо x в функцию:
- f(-x) = ((-x)² + 1) / ((-x)² — 4) = (x² + 1) / (x² — 4) = f(x); Мы видим, что функция не изменяется, когда x заменяется на -x, что означает, что функция является чётной.
Ответ: Функция чётная, так как f(-x) = f(x).
3) Функция: f(x) = √(4 — x) + √(4 + x)
Для того чтобы выражение имело смысл, необходимо, чтобы подкоренные выражения были неотрицательными, то есть:
- 4 — x ≥ 0 ⇒ x ≤ 4;
- 4 + x ≥ 0 ⇒ x ≥ -4;
Объединяя эти два условия, получаем, что функция определена на интервале:
- D(f) = [-4; 4]; Функция определена для значений x от -4 до 4.
Теперь проверим симметричность функции. Для этого подставим -x вместо x:
- f(-x) = √(4 — (-x)) + √(4 + (-x)) = √(4 + x) + √(4 — x) = f(x); Мы видим, что функция не изменяется при замене x на -x, что означает, что функция является чётной.
Ответ: Функция чётная, так как f(-x) = f(x).
4) Функция: f(x) = x³ / (1 — √(x — 1))
Для того чтобы выражение имело смысл, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, а также дробь должна быть определена. Рассмотрим оба условия:
- x — 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1;
- 1 — √(x — 1) ≠ 0 ⇒ √(x — 1) ≠ 1 ⇒ x ≠ 2;
Таким образом, область определения функции:
- D(f) = [1; ∞) \ {2}; Функция определена для значений x ≥ 1, за исключением x = 2, так как в этой точке знаменатель будет равен нулю.
Теперь проверим симметричность функции. Для этого подставим -x вместо x:
- f(-x) = (-x)³ / (1 — √((-x) — 1)) = -x³ / (1 — √(x — 1)); Мы видим, что функция не сохраняет свой вид при замене x на -x, что означает, что функция нечётная.
Ответ: Функция нечётная, так как f(-x) = -f(x).
Алгебра
