Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.11 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Докажите, что является чётной функция:
1) \( f(x) = -5x^4 \);
2) \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 — 4} \);
3) \( f(x) = \sqrt{4 — x} + \sqrt{4 + x} \);
4) \( f(x) = \frac{x^3}{\sqrt{1 — x} — \sqrt{x + 1}} \).
1) Функция: \( f(x) = -5x^4 \)
Выражение имеет смысл при: \( x \in \mathbb{R} \).
Область определения функции:
\( D(f) = (-\infty; +\infty) \);
Область определения симметрична:
\( f(-x) = -5(-x)^4 = -5x^4 = f(x) \);
Что требовалось доказать: Функция является нечётной.
2) Функция: \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 — 4} \)
Выражение имеет смысл при:
\( x^2 \neq 4; \)
\( x \neq \pm 2; \)
Область определения функции:
\( D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty) \);
Область определения симметрична:
\( f(-x) = \frac{(-x)^2 + 1}{(-x)^2 — 4} = \frac{x^2 + 1}{x^2 — 4} = f(x) \);
Что требовалось доказать: Функция чётная.
3) Функция: \( f(x) = \sqrt{4 — x} + \sqrt{4 + x} \)
Выражение имеет смысл при:
\( 4 — x \geq 0 \Rightarrow x \leq 4; \)
\( 4 + x \geq 0 \Rightarrow x \geq -4; \)
Область определения функции:
\( D(f) = [-4; 4] \);
Область определения симметрична:
\( f(-x) = \sqrt{4 — (-x)} + \sqrt{4 + (-x)} = \sqrt{4 + x} + \sqrt{4 — x} = f(x) \);
Что требовалось доказать: Функция чётная.
4) Функция: \( f(x) = \frac{x^3}{1 — \sqrt{x — 1}} \)
Выражение имеет смысл при:
\( x \geq 1; \)
\( \sqrt{x — 1} < 1 \Rightarrow x — 1 < 1 \Rightarrow x < 2 \);
\( x > 1 \) (так как \( x — 1 > 0 \));
Область определения функции:
\( D(f) = [1; 2) \);
Область определения симметрична:
\( f(-x) = \frac{(-x)^3}{1 — \sqrt{(-x) — 1}} = -\frac{x^3}{1 — \sqrt{-x — 1}} = f(x) \);
Что требовалось доказать: Функция нечётная.
1) Функция: \( f(x) = -5x^4 \)
Это кубическая функция, и она определена для всех значений \( x \in \mathbb{R} \), так как выражение не содержит ограничений для \( x \).
Область определения функции:
\( D(f) = (-\infty; +\infty) \); Функция определена для всех значений \( x \).
Теперь проверим симметричность функции. Для этого подставим \( -x \) вместо \( x \):
\( f(-x) = -5(-x)^4 = -5x^4 = -f(x); \) Мы видим, что функция меняет знак при замене \( x \) на \( -x \), что означает, что функция является нечётной.
Ответ: Функция нечётная, так как \( f(-x) = -f(x) \).
2) Функция: \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 — 4} \)
Функция представляет собой рациональное выражение. Для того чтобы выражение имело смысл, знаменатель не должен равняться нулю. Поэтому, чтобы избежать деления на ноль, необходимо решить уравнение:
\( x^2 — 4 \neq 0; \) Это уравнение имеет решение \( x \neq \pm2; \)
Таким образом, область определения функции:
\( D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty) \); Мы исключаем точки \( x = -2 \) и \( x = 2 \), так как они приводят к нулю в знаменателе.
Теперь проверим симметричность функции. Для этого подставим \( -x \) вместо \( x \) в функцию:
\( f(-x) = \frac{(-x)^2 + 1}{(-x)^2 — 4} = \frac{x^2 + 1}{x^2 — 4} = f(x); \) Мы видим, что функция не изменяется, когда \( x \) заменяется на \( -x \), что означает, что функция является чётной.
Ответ: Функция чётная, так как \( f(-x) = f(x) \).
3) Функция: \( f(x) = \sqrt{4 — x} + \sqrt{4 + x} \)
Для того чтобы выражение имело смысл, необходимо, чтобы подкоренные выражения были неотрицательными, то есть:
\( 4 — x \geq 0 \Rightarrow x \leq 4; \)
\( 4 + x \geq 0 \Rightarrow x \geq -4; \)
Объединяя эти два условия, получаем, что функция определена на интервале:
\( D(f) = [-4; 4] \); Функция определена для значений \( x \) от \( -4 \) до \( 4 \).
Теперь проверим симметричность функции. Для этого подставим \( -x \) вместо \( x \):
\( f(-x) = \sqrt{4 — (-x)} + \sqrt{4 + (-x)} = \sqrt{4 + x} + \sqrt{4 — x} = f(x); \) Мы видим, что функция не изменяется при замене \( x \) на \( -x \), что означает, что функция является чётной.
Ответ: Функция чётная, так как \( f(-x) = f(x) \).
4) Функция: \( f(x) = \frac{x^3}{1 — \sqrt{x — 1}} \)
Для того чтобы выражение имело смысл, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, а также дробь должна быть определена. Рассмотрим оба условия:
\( x — 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1; \)
\( 1 — \sqrt{x — 1} \neq 0 \Rightarrow \sqrt{x — 1} \neq 1 \Rightarrow x \neq 2; \)
Таким образом, область определения функции:
\( D(f) = [1; +\infty) \{2\} \); Функция определена для значений \( x \geq 1 \), за исключением \( x = 2 \), так как в этой точке знаменатель будет равен нулю.
Теперь проверим симметричность функции. Для этого подставим \( -x \) вместо \( x \):
\( f(-x) = \frac{(-x)^3}{1 — \sqrt{(-x) — 1}} = \frac{-x^3}{1 — \sqrt{-x — 1}} \); Мы видим, что функция не сохраняет свой вид при замене \( x \) на \( -x \), и знак числителя меняется, а область определения изменяется, что означает, что функция нечётная.
Ответ: Функция нечётная, так как \( f(-x) = -f(x) \).
