Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.12 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Докажите, что является чётной функция:
1) \( f(x) = x^6 \)
Выражение имеет смысл при:
- x ∈ R;
Область определения функции:
- D(f) = (-∞; +∞);
Область определения симметрична:
- f(-x) = (-x)^6 = x^6 = f(x);
Что и требовалось доказать.
2) \( f(x) = -3x^2 + |x| — 1 \)
Выражение имеет смысл при:
- x ∈ R;
Область определения функции:
- D(f) = (-∞; +∞);
Область определения симметрична:
- f(-x) = -3(-x)^2 + |-x| — 1 = -3x^2 + |x| — 1 = f(x);
Что и требовалось доказать.
3) f(x) = √(5 — x²);
Выражение имеет смысл при:
5 — x² ≥ 0;
x² — 5 ≤ 0;
(x + √5)(x — √5) ≤ 0;
-√5 ≤ x ≤ √5;
Область определения функции:
D(f) = [-√5; √5];
Область определения симметрична:
f(-x) = √(5 — (-x)²) = √(5 — x²) = f(x);
Что и требовалось доказать.
4) f(x) = |5x — 2| + |5x + 2| / (x² — 1);
Выражение имеет смысл при:
x² — 1 ≠ 0;
x² ≠ 1;
x ≠ ±1;
Область определения функции:
D(f) = (-∞; -1) ∪ (-1; 1) ∪ (1; +∞);
Область определения симметрична:
f(-x) = |5 · (-x) — 2| + |5 · (-x) + 2| / ((-x)² — 1);
= |5x — 2| + |-5x + 2| / (x² — 1);
= |5x — 2| + |5x — 2| / (x² — 1);
f(-x) = f(x);
Что и требовалось доказать.
1) \( f(x) = x^6 \)
Функция \( f(x) = x^6 \) является полиномом четной степени. Проверим, является ли эта функция чётной.
Для того чтобы доказать, что функция чётная, необходимо проверить, выполняется ли равенство f(-x) = f(x) для всех значений x.
- Подставим -x вместо x в функцию:
- f(-x) = (-x)^6 = x^6 = f(x); Мы видим, что функция остаётся неизменной при замене x на -x, что означает, что функция чётная.
Ответ: Функция \( f(x) = x^6 \) является чётной, так как f(-x) = f(x).
2) \( f(x) = -3x^2 + |x| — 1 \)
Эта функция включает в себя как квадратичное выражение -3x^2, так и абсолютное значение |x|. Функция имеет следующие особенности:
Для проверки чётности подставим -x вместо x в функцию:
- f(-x) = -3(-x)^2 + |-x| — 1 = -3x^2 + |x| — 1 = f(x);
- Поскольку квадратичные выражения и абсолютные значения не изменяются при замене x на -x, мы можем утверждать, что f(-x) = f(x).
Ответ: Функция \( f(x) = -3x^2 + |x| — 1 \) является чётной, так как f(-x) = f(x).
3) f(x) = √(5 — x²);
Выражение имеет смысл при следующих условиях:
1. 5 — x² ≥ 0 — это условие гарантирует, что выражение под корнем будет неотрицательным, так как корень из отрицательного числа в реальных числах не существует.
2. x² — 5 ≤ 0 — это условие означает, что x² должно быть меньше или равно 5, чтобы результат выражения находился в допустимых пределах.
3. (x + √5)(x — √5) ≤ 0 — это условие накладывает ограничение на x, чтобы произведение двух выражений было неотрицательным. Это позволяет определить промежутки, в которых выражение будет иметь смысл.
4. -√5 ≤ x ≤ √5 — это окончательное ограничение, которое даёт диапазон значений для x, в котором выражение под корнем будет оставаться неотрицательным.
Область определения функции (значения x, для которых выражение имеет смысл):
D(f) = [-√5; √5].
Далее, рассматриваем симметричность функции. Функция симметрична относительно оси y, если f(-x) = f(x). Проверим это:
f(-x) = √(5 — (-x)²) = √(5 — x²) = f(x), что подтверждает симметричность функции относительно оси y.
Таким образом, доказано, что функция симметрична относительно оси y, и область её определения — от -√5 до √5.
4) f(x) = |5x — 2| + |5x + 2| / (x² — 1);
Выражение имеет смысл при следующих условиях:
1. x² — 1 ≠ 0 — это условие означает, что знаменатель не может быть равен нулю, так как деление на ноль невозможно.
2. x² ≠ 1 — это условие накладывает ограничения на значения x, исключая x = ±1, так как для этих значений выражение в знаменателе будет равно нулю.
3. x ≠ ±1 — это следствие предыдущего условия, означающее, что x не может быть равно 1 или -1.
Область определения функции (значения x, для которых выражение имеет смысл):
D(f) = (-∞; -1) ∪ (-1; 1) ∪ (1; +∞), что исключает точки x = 1 и x = -1.
Далее, проверим симметричность функции. Если функция симметрична относительно оси y, то должно быть выполнено условие f(-x) = f(x). Рассмотрим f(-x):
f(-x) = |5 · (-x) — 2| + |5 · (-x) + 2| / ((-x)² — 1)
= |5x — 2| + |-5x + 2| / (x² — 1)
= |5x — 2| + |5x — 2| / (x² — 1)
= f(x).
Таким образом, мы доказали, что функция симметрична относительно оси y, так как f(-x) = f(x), и область её определения — (-∞; -1) ∪ (-1; 1) ∪ (1; +∞).
Алгебра
