Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.12 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Докажите, что является чётной функция:
1) \( f(x) = x^6 \);
2) \( f(x) = -3x^2 + |x| — 1 \);
3) \( f(x) = \sqrt{5 — x^2} \);
4) \( f(x) = \frac{|5x — 2| + |5x + 2|}{x^2 — 1} \).
1) \( f(x) = x^6 \)
Выражение имеет смысл при:
\( x \in \mathbb{R} \);
Область определения функции:
\( D(f) = (-\infty; +\infty) \);
Область определения симметрична:
\( f(-x) = (-x)^6 = x^6 = f(x); \)
Что и требовалось доказать.
2) \( f(x) = -3x^2 + |x| — 1 \)
Выражение имеет смысл при:
\( x \in \mathbb{R} \);
Область определения функции:
\( D(f) = (-\infty; +\infty) \);
Область определения симметрична:
\( f(-x) = -3(-x)^2 + |-x| — 1 = -3x^2 + |x| — 1 = f(x); \)
Что и требовалось доказать.
3) \( f(x) = \sqrt{5 — x^2} \);
Выражение имеет смысл при:
\( 5 — x^2 \geq 0; \)
\( x^2 — 5 \leq 0; \)
\( (x + \sqrt{5})(x — \sqrt{5}) \leq 0; \)
\( -\sqrt{5} \leq x \leq \sqrt{5}; \)
Область определения функции:
\( D(f) = [-\sqrt{5}; \sqrt{5}] \);
Область определения симметрична:
\( f(-x) = \sqrt{5 — (-x)^2} = \sqrt{5 — x^2} = f(x); \)
Что и требовалось доказать.
4) \( f(x) = \frac{|5x — 2| + |5x + 2|}{x^2 — 1} \);
Выражение имеет смысл при:
\( x^2 — 1 \neq 0; \)
\( x^2 \neq 1; \)
\( x \neq \pm1; \)
Область определения функции:
\( D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty) \);
Область определения симметрична:
\( f(-x) = \frac{|5 \cdot (-x) — 2| + |5 \cdot (-x) + 2|}{(-x)^2 — 1} = \frac{|5x — 2| + |-5x + 2|}{x^2 — 1} = \frac{|5x — 2| + |5x — 2|}{x^2 — 1} = f(x); \)
Что и требовалось доказать.
1) \( f(x) = x^6 \)
Функция \( f(x) = x^6 \) является полиномом чётной степени. Проверим, является ли эта функция чётной.
Для того чтобы доказать, что функция чётная, необходимо проверить, выполняется ли равенство \( f(-x) = f(x) \) для всех значений \( x \).
Подставим \(-x\) вместо \(x\) в функцию:
\( f(-x) = (-x)^6 = x^6 = f(x) \);
Мы видим, что функция остаётся неизменной при замене \( x \) на \( -x \), что означает, что функция чётная.
Ответ: Функция \( f(x) = x^6 \) является чётной, так как \( f(-x) = f(x) \).
2) \( f(x) = -3x^2 + |x| — 1 \)
Эта функция включает в себя как квадратичное выражение \( -3x^2 \), так и абсолютное значение \( |x| \).
Для проверки чётности подставим \(-x\) вместо \(x\) в функцию:
\( f(-x) = -3(-x)^2 + |-x| — 1 = -3x^2 + |x| — 1 = f(x) \);
Поскольку квадратичные выражения и абсолютные значения не изменяются при замене \( x \) на \( -x \), мы можем утверждать, что \( f(-x) = f(x) \).
Ответ: Функция \( f(x) = -3x^2 + |x| — 1 \) является чётной, так как \( f(-x) = f(x) \).
3) \( f(x) = \sqrt{5 — x^2} \);
Выражение имеет смысл при следующих условиях:
\( 5 — x^2 \geq 0 \) — это условие гарантирует, что выражение под корнем будет неотрицательным, так как корень из отрицательного числа в реальных числах не существует.
\( x^2 — 5 \leq 0 \) — это условие означает, что \( x^2 \) должно быть меньше или равно 5.
\( (x + \sqrt{5})(x — \sqrt{5}) \leq 0 \) — это условие накладывает ограничение на \( x \), чтобы произведение двух выражений было неотрицательным.
\( -\sqrt{5} \leq x \leq \sqrt{5} \) — это окончательное ограничение, которое даёт диапазон значений для \( x \).
Область определения функции:
\( D(f) = [-\sqrt{5}; \sqrt{5}] \);
Рассмотрим симметричность функции:
\( f(-x) = \sqrt{5 — (-x)^2} = \sqrt{5 — x^2} = f(x) \), что подтверждает симметричность функции относительно оси \( y \).
Ответ: Функция симметрична относительно оси \( y \), и область её определения — от \( -\sqrt{5} \) до \( \sqrt{5} \).
4) \( f(x) = \frac{|5x — 2| + |5x + 2|}{x^2 — 1} \);
Выражение имеет смысл при следующих условиях:
\( x^2 — 1 \neq 0 \) — это условие означает, что знаменатель не может быть равен нулю.
\( x^2 \neq 1 \) — это ограничение, исключающее \( x = \pm1 \).
Область определения функции:
\( D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty) \), что исключает точки \( x = 1 \) и \( x = -1 \).
Проверим симметричность функции:
\( f(-x) = \frac{|5 \cdot (-x) — 2| + |5 \cdot (-x) + 2|}{(-x)^2 — 1} = \frac{|5x — 2| + |-5x + 2|}{x^2 — 1} = \frac{|5x — 2| + |5x — 2|}{x^2 — 1} = f(x) \).
Ответ: Функция симметрична относительно оси \( y \), так как \( f(-x) = f(x) \), область её определения — \( (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty) \).
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!