ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.13 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что является нечётной функция:

1) \( f(x) = 4x^7 \);

2) \( f(x) = 2x — 3x^5 \);

3) \( f(x) = x|x| \);

4) \( f(x) = (5 — x)^5 — (5 + x)^5 \);

5) \( g(x) = \sqrt{2 — x} — \sqrt{2 + x} \);

6) \( g(x) = \frac{3x + 2}{x^2 — x + 1} + \frac{3x — 2}{x^2 + x + 1} \).

1) f(x) = 4x⁷;

Выражение имеет смысл при:

x ∈ R;

Область определения функции:

D(f) = (-∞; +∞);

Область определения симметрична:

f(-x) = 4(-x)⁷ = -4x⁷ = -f(x);

Что и требовалось доказать: Мы видим, что функция является нечетной, так как при замене x на -x результат меняется на противоположный.

2) f(x) = 2x — 3x⁵;

Выражение имеет смысл при:

x ∈ R;

Область определения функции:

D(f) = (-∞; +∞);

Область определения симметрична:

f(-x) = 2(-x) — 3(-x)⁵ = -2x + 3x⁵ = -f(x);

Что и требовалось доказать: Это также нечетная функция, так как ее график симметричен относительно начала координат.

3) f(x) = x|x|;

Выражение имеет смысл при:

x ∈ R;

Область определения функции:

D(f) = (-∞; +∞);

Область определения симметрична:

f(-x) = (-x)|-x| = -x|x| = -f(x);

Что и требовалось доказать: Данная функция является нечетной, так как при подстановке -x результат изменяется на противоположный.

4) f(x) = (5 — x)² — (5 + x)²;

Выражение имеет смысл при:

x ∈ R;

Область определения функции:

D(f) = (-∞; +∞);

Область определения симметрична:

f(-x) = (5 — (-x))² — (5 + (-x))² = (5 + x)² — (5 — x)² = -f(x);

Что и требовалось доказать: Функция нечетная, так как при подстановке -x результат меняется на противоположный.

5) g(x) = √(2 — x) — √(2 + x);

Выражение имеет смысл при:

x ∈ R;

Область определения функции:

D(g) = (-2; 2);

Область определения симметрична:

g(-x) = √(2 — (-x)) — √(2 + (-x)) = √(2 + x) — √(2 — x) = -g(x);

Что и требовалось доказать: Функция нечетная, так как при подстановке -x результат меняется на противоположный.

6) g(x) = (3x + 2) / (x² — x + 1) + (3x — 2) / (x² + x + 1);

Выражение имеет смысл при:

x ∈ R;

Область определения функции:

D(g) = (-∞; +∞);

Область определения симметрична:

g(-x) = (3(-x) + 2) / ((-x)² — (-x) + 1) + (3(-x) — 2) / ((-x)² + (-x) + 1)

g(-x) = (-3x + 2) / (x² + x + 1) + (-3x — 2) / (x² — x + 1) = -g(x);

Что и требовалось доказать: Функция нечетная, так как при подстановке -x результат меняется на противоположный.

1) f(x) = 4x⁷;

Выражение имеет смысл при:

x ∈ R;

Область определения функции:

D(f) = (-∞; +∞);

Область определения симметрична:

f(-x) = 4(-x)⁷ = -4x⁷ = -f(x);

Что и требовалось доказать: Мы видим, что функция является нечетной. Для этого достаточно заметить, что при подстановке -x в функцию знак изменяется на противоположный. Это означает, что функция симметрична относительно начала координат, что и является определением нечетной функции. Мы видим, что на графике такая функция будет отображаться как зеркальное отражение относительно начала координат.

2) f(x) = 2x — 3x⁵;

Выражение имеет смысл при:

x ∈ R;

Область определения функции:

D(f) = (-∞; +∞);

Область определения симметрична:

f(-x) = 2(-x) — 3(-x)⁵ = -2x + 3x⁵ = -f(x);

Что и требовалось доказать: Это также нечетная функция, так как при подстановке -x результат меняется на противоположный. Это подтверждает, что функция симметрична относительно начала координат. Функции такого типа всегда будут отображаться симметрично, то есть зеркально относительно оси y, если они нечетные.

3) f(x) = x|x|;

Выражение имеет смысл при:

x ∈ R;

Область определения функции:

D(f) = (-∞; +∞);

Область определения симметрична:

f(-x) = (-x)|-x| = -x|x| = -f(x);

Что и требовалось доказать: Данная функция является нечетной, так как при подстановке -x в выражение, результат изменяется на противоположный. Таким образом, график функции также будет симметричен относительно начала координат, что является признаком нечетных функций.

4) f(x) = (5 — x)² — (5 + x)²;

Выражение имеет смысл при:

x ∈ R;

Область определения функции:

D(f) = (-∞; +∞);

Область определения симметрична:

f(-x) = (5 — (-x))² — (5 + (-x))² = (5 + x)² — (5 — x)² = -f(x);

Что и требовалось доказать: Эта функция является нечетной, так как при подстановке -x результат меняется на противоположный. Мы видим, что разность квадратов ведет к функциям, которые симметричны относительно начала координат, что является еще одной характеристикой нечетных функций.

5) g(x) = √(2 — x) — √(2 + x);

Выражение имеет смысл при:

x ∈ R;

Область определения функции:

D(g) = (-2; 2);

Область определения симметрична:

g(-x) = √(2 — (-x)) — √(2 + (-x)) = √(2 + x) — √(2 — x) = -g(x);

Что и требовалось доказать: Функция также является нечетной. При подстановке -x она дает противоположный результат, что подтверждает симметрию относительно начала координат. Это также объясняется тем, что корни из симметричных выражений в функции ведут к изменению знака при замене x на -x.

6) g(x) = (3x + 2) / (x² — x + 1) + (3x — 2) / (x² + x + 1);

Выражение имеет смысл при:

x ∈ R;

Область определения функции:

D(g) = (-∞; +∞);

Область определения симметрична:

g(-x) = (3(-x) + 2) / ((-x)² — (-x) + 1) + (3(-x) — 2) / ((-x)² + (-x) + 1)

g(-x) = (-3x + 2) / (x² + x + 1) + (-3x — 2) / (x² — x + 1) = -g(x);

Что и требовалось доказать: Эта функция тоже нечетная, так как при подстановке -x результат изменяется на противоположный. При этом дробные выражения в функции обладают симметрией относительно начала координат.