Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.14 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Докажите, что является нечётной функция:
1) f(x)=x-1/x;
2) f(x)=(x^3+x)(x^4-x^2);
3) g(x)=|x|/x;
4) g(x)=(|4x-1|-|4x+1|)/(x^4-1).
1) f(x) = x — 1/x
Перевод задания: Докажите, что функция f(x) = x — 1/x является нечётной.
Решение:
- Для того чтобы доказать, что функция нечётная, нужно проверить, выполняется ли условие f(-x) = -f(x).
- Рассмотрим выражение f(-x):f(-x) = (-x) — 1/(-x) = -x + 1/x.
- Теперь, вычислим -f(x):-f(x) = -(x — 1/x) = -x + 1/x.
- Видим, что f(-x) = -f(x), следовательно, функция f(x) является нечётной.
2) f(x) = (x^3 + x)(x^4 — x^2)
Перевод задания: Докажите, что функция f(x) = (x^3 + x)(x^4 — x^2) является нечётной.
Решение:
- Рассмотрим выражение f(-x):f(-x) = ((-x)^3 + (-x))((-x)^4 — (-x)^2) = (-x^3 — x)(x^4 — x^2).
- Разделим выражение на два множителя:f(-x) = -(x^3 + x)(x^4 — x^2).
- Видим, что f(-x) = -f(x), следовательно, функция f(x) является нечётной.
3) g(x) = |x|/x
Перевод задания: Докажите, что функция g(x) = |x|/x является нечётной.
Решение:
- Рассмотрим выражение g(-x):g(-x) = |{-x}| / (-x) = |x| / (-x) = -|x|/x.
- Видим, что g(-x) = -g(x), следовательно, функция g(x) является нечётной.
4) g(x) = (|4x — 1| — |4x + 1|)/(x^4 — 1)
Перевод задания: Докажите, что функция g(x) = (|4x — 1| — |4x + 1|)/(x^4 — 1) является нечётной.
Решение:
- Рассмотрим выражение g(-x):g(-x) = (|4(-x) — 1| — |4(-x) + 1|)/((-x)^4 — 1) = (|-4x — 1| — |-4x + 1|)/(x^4 — 1).
- Применяем свойства модуля:g(-x) = (|4x + 1| — |4x — 1|)/(x^4 — 1).
- Видим, что g(-x) = -g(x), следовательно, функция g(x) является нечётной.
Ответ: Все четыре функции являются нечётными.
1) f(x) = x — 1/x
Перевод задания: Докажите, что функция f(x) = x — 1/x является нечётной.
Решение:
- Для того чтобы доказать, что функция нечётная, нужно проверить, выполняется ли условие f(-x) = -f(x). Это основное определение нечётной функции.
- Рассмотрим выражение f(-x), подставив в функцию x значение -x:f(-x) = (-x) — 1/(-x) = -x + 1/x. Мы заменили все элементы функции на соответствующие значения для -x.
- Теперь вычислим -f(x), что означает, что мы должны взять знак минус перед функцией:-f(x) = -(x — 1/x) = -x + 1/x. Мы видим, что, преобразуя знак функции, мы получаем точно такой же результат.
- Видим, что f(-x) = -f(x), следовательно, функция f(x) является нечётной. Это подтверждает, что функция удовлетворяет определению нечётной функции, так как условие выполняется для всех значений переменной x, кроме 0, где функция не определена.
2) f(x) = (x^3 + x)(x^4 — x^2)
Перевод задания: Докажите, что функция f(x) = (x^3 + x)(x^4 — x^2) является нечётной.
Решение:
- Для начала рассмотрим выражение f(-x), подставив в исходную функцию вместо x значение -x:f(-x) = ((-x)^3 + (-x))((-x)^4 — (-x)^2) = (-x^3 — x)(x^4 — x^2). Мы заменили все элементы функции, учитывая, что (-x)^3 = -x^3 и (-x)^2 = x^2.
- Теперь, для удобства, разделим выражение на два множителя:f(-x) = -(x^3 + x)(x^4 — x^2). Мы видим, что можно вынести общий минус за скобки.
- Видим, что f(-x) = -f(x), что означает, что функция f(x) является нечётной. Это условие выполняется для всех значений переменной x, кроме 0, где функция не определена.
3) g(x) = |x|/x
Перевод задания: Докажите, что функция g(x) = |x|/x является нечётной.
Решение:
- Рассмотрим выражение g(-x), подставив вместо x значение -x:g(-x) = |{-x}| / (-x) = |x| / (-x) = -|x|/x. Мы использовали тот факт, что |{-x}| = |x|, а также что 1/(-x) = -1/x.
- Видим, что g(-x) = -g(x), следовательно, функция g(x) является нечётной. Это означает, что функция удовлетворяет определению нечётной функции для всех значений переменной x, за исключением x = 0, где функция не определена.
4) g(x) = (|4x — 1| — |4x + 1|)/(x^4 — 1)
Перевод задания: Докажите, что функция g(x) = (|4x — 1| — |4x + 1|)/(x^4 — 1) является нечётной.
Решение:
- Рассмотрим выражение g(-x), подставив в функцию значение -x:g(-x) = (|4(-x) — 1| — |4(-x) + 1|)/((-x)^4 — 1) = (|-4x — 1| — |-4x + 1|)/(x^4 — 1). Мы использовали свойства модуля, что |-a| = |a| для любого значения a.
- Применяем свойства модуля:g(-x) = (|4x + 1| — |4x — 1|)/(x^4 — 1). Мы просто заменили знаки внутри модуля, так как они не влияют на результат, так как модуль всегда даёт положительное значение.
- Видим, что g(-x) = -g(x), следовательно, функция g(x) является нечётной. Это условие выполняется для всех значений переменной x, кроме тех случаев, когда знаменатель равен нулю, то есть x = 1 или x = -1.
Ответ: Все четыре функции являются нечётными. Каждая из них удовлетворяет определению нечётной функции, поскольку для каждой функции выполняется условие f(-x) = -f(x), с учётом исключений для значений переменной, при которых функция не определена.
Алгебра
