ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.14 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что является нечётной функция:

1) \( f(x) = x — \frac{1}{x} \);

2) \( f(x) = (x^3 + x)(x^4 — x^2) \);

3) \( g(x) = \frac{|x|}{x} \);

4) \( g(x) = \frac{|4x — 1| — |4x + 1|}{x^4 — 1} \).

1) \( f(x) = x — \frac{1}{x} \)

Докажите, что функция \( f(x) = x — \frac{1}{x} \) является нечётной.

Решение:

1. Для того чтобы доказать, что функция нечётная, нужно проверить, выполняется ли условие \( f(-x) = -f(x) \).
2. Рассмотрим выражение \( f(-x) \): \( f(-x) = (-x) — \frac{1}{-x} = -x + \frac{1}{x} \).
3. Теперь вычислим \( -f(x) \): \( -f(x) = -(x — \frac{1}{x}) = -x + \frac{1}{x} \).
4. Видим, что \( f(-x) = -f(x) \), следовательно, функция \( f(x) \) является нечётной.

2) \( f(x) = (x^3 + x)(x^4 — x^2) \)

Докажите, что функция \( f(x) = (x^3 + x)(x^4 — x^2) \) является нечётной.

Решение:

1. Рассмотрим выражение \( f(-x) \): \( f(-x) = \big((-x)^3 + (-x)\big)\big((-x)^4 — (-x)^2\big) = (-x^3 — x)(x^4 — x^2) \).
2. Разделим выражение на два множителя: \( f(-x) = — (x^3 + x)(x^4 — x^2) \).
3. Видим, что \( f(-x) = -f(x) \), следовательно, функция \( f(x) \) является нечётной.

3) \( g(x) = \frac{|x|}{x} \)

Перевод задания: Докажите, что функция \( g(x) = \frac{|x|}{x} \) является нечётной.

Решение:

1. Рассмотрим выражение \( g(-x) \): \( g(-x) = \frac{|{-x}|}{-x} = \frac{|x|}{-x} = -\frac{|x|}{x} \).
2. Видим, что \( g(-x) = -g(x) \), следовательно, функция \( g(x) \) является нечётной.

4) \( g(x) = \frac{|4x — 1| — |4x + 1|}{x^4 — 1} \)

Перевод задания: Докажите, что функция \( g(x) = \frac{|4x — 1| — |4x + 1|}{x^4 — 1} \) является нечётной.

Решение:

1. Рассмотрим выражение \( g(-x) \): \( g(-x) = \frac{|4(-x) — 1| — |4(-x) + 1|}{(-x)^4 — 1} = \frac{|-4x — 1| — |-4x + 1|}{x^4 — 1} \).
2. Применяем свойства модуля: \( g(-x) = \frac{|4x + 1| — |4x — 1|}{x^4 — 1} \).
3. Видим, что \( g(-x) = -g(x) \), следовательно, функция \( g(x) \) является нечётной.

Ответ: Все четыре функции являются нечётными.

1) \( f(x) = x — \frac{1}{x} \)

Докажите, что функция \( f(x) = x — \frac{1}{x} \) является нечётной.

Решение:

1. Для того чтобы доказать, что функция нечётная, нужно проверить, выполняется ли условие \( f(-x) = -f(x) \). Это основное определение нечётной функции.
2. Рассмотрим выражение \( f(-x) \), подставив в функцию \( x \) значение \( -x \): \( f(-x) = (-x) — \frac{1}{-x} = -x + \frac{1}{x} \). Мы заменили все элементы функции на соответствующие значения для \( -x \).
3. Теперь вычислим \( -f(x) \), что означает, что мы должны взять знак минус перед функцией: \( -f(x) = -\!\left(x — \frac{1}{x}\right) = -x + \frac{1}{x} \). Мы видим, что, преобразуя знак функции, мы получаем точно такой же результат.
4. Видим, что \( f(-x) = -f(x) \), следовательно, функция \( f(x) \) является нечётной. Это подтверждает, что функция удовлетворяет определению нечётной функции, так как условие выполняется для всех значений переменной \( x \), кроме \( 0 \), где функция не определена.

2) \( f(x) = (x^3 + x)(x^4 — x^2) \)

Перевод задания: Докажите, что функция \( f(x) = (x^3 + x)(x^4 — x^2) \) является нечётной.

Решение:

1. Для начала рассмотрим выражение \( f(-x) \), подставив в исходную функцию вместо \( x \) значение \( -x \): \( f(-x) = \big((-x)^3 + (-x)\big)\big((-x)^4 — (-x)^2\big) = (-x^3 — x)(x^4 — x^2) \). Мы заменили все элементы функции, учитывая, что \( (-x)^3 = -x^3 \) и \( (-x)^2 = x^2 \).
2. Теперь, для удобства, разделим выражение на два множителя: \( f(-x) = -\,(x^3 + x)(x^4 — x^2) \). Мы видим, что можно вынести общий минус за скобки.
3. Видим, что \( f(-x) = -f(x) \), что означает, что функция \( f(x) \) является нечётной. Это условие выполняется для всех значений переменной \( x \), кроме \( 0 \), где функция не определена.

3) \( g(x) = \frac{|x|}{x} \)

Докажите, что функция \( g(x) = \frac{|x|}{x} \) является нечётной.

Решение:

1. Рассмотрим выражение \( g(-x) \), подставив вместо \( x \) значение \( -x \): \( g(-x) = \frac{|{-x}|}{-x} = \frac{|x|}{-x} = -\frac{|x|}{x} \). Мы использовали тот факт, что \( |{-x}| = |x| \), а также что \( \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} \).
2. Видим, что \( g(-x) = -g(x) \), следовательно, функция \( g(x) \) является нечётной. Это означает, что функция удовлетворяет определению нечётной функции для всех значений переменной \( x \), за исключением \( x = 0 \), где функция не определена.

4) \( g(x) = \frac{|4x — 1| — |4x + 1|}{x^4 — 1} \)

Перевод задания: Докажите, что функция \( g(x) = \frac{|4x — 1| — |4x + 1|}{x^4 — 1} \) является нечётной.

Решение:

1. Рассмотрим выражение \( g(-x) \), подставив в функцию значение \( -x \): \( g(-x) = \frac{|4(-x) — 1| — |4(-x) + 1|}{(-x)^4 — 1} = \frac{|-4x — 1| — |-4x + 1|}{x^4 — 1} \). Мы использовали свойства модуля, что \( |-a| = |a| \) для любого значения \( a \).
2. Применяем свойства модуля: \( g(-x) = \frac{|4x + 1| — |4x — 1|}{x^4 — 1} \). Мы просто заменили знаки внутри модуля, так как они не влияют на результат, так как модуль всегда даёт положительное значение.
3. Видим, что \( g(-x) = -g(x) \), следовательно, функция \( g(x) \) является нечётной. Это условие выполняется для всех значений переменной \( x \), кроме тех случаев, когда знаменатель равен нулю, то есть \( x = 1 \) или \( x = -1 \).

Ответ: Все четыре функции являются нечётными. Каждая из них удовлетворяет определению нечётной функции, поскольку для каждой функции выполняется условие \( f(-x) = -f(x) \), с учётом исключений для значений переменной, при которых функция не определена.